Question

Відрізок AK – бісектриса трикутника ABC. Знайдіть сторону AC, якщо BK : KC = 4 : 9, AB = 16 см

Answer 1

Биссектриса треугольника АК делит сторону ВС на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, АВ и АС, поэтому

ВК : АВ = КС : АС, откуда АС = АВ · КС/ВК

АС = 16 · 9/4 = 36 (см)

Ответ: АС = 36см

Answer 2

Щоб знайти сторону AC трикутника ABC, ми можемо скористатися властивістю бісектриси. Згідно цієї властивості, бісектриса ділить протилежну сторону трикутника на дві частини, пропорційні до інших двох сторін трикутника.

Позначимо сторони трикутника ABC наступним чином: AB = 16 см (дано) BK = x (нехай це довжина відрізка, на який бісектриса ділить сторону AC) KC = y (довжина іншої частини сторони AC, яку відрізок BK також ділить)

Тоді маємо пропорцію:

BK : KC = 4 : 9

Так як ми знаємо, що BK = x, а KC = y, то можемо записати:

x : y = 4 : 9

Також враховуємо, що бісектриса ділить сторону AC на дві частини, тобто:

AC = BK + KC

AC = x + y

Тепер ми маємо систему рівнянь:

1. x : y = 4 : 9
2. AC = x + y

Можемо вирішити цю систему рівнянь. Для цього помножимо обидві сторони першого рівняння на коефіцієнт 9 (щоб у чисельнику отримати 9):

9(x : y) = 9(4 : 9)

Отримаємо:

9x : y = 4

Тепер можемо замінити AC на x + y в другому рівнянні:

9x : y = 4 AC = x + y

Так як обидві величини співвідносяться зі стороною AC, ми можемо прирівняти ці два вирази:

9x : y = x + y

Тепер розв'яжемо це рівняння відносно x:

9x = x + y

Перенесемо x на одну сторону рівняння, а y на іншу:

9x - x = y

8x = y

Тепер, щоб виразити x через y, розділимо обидві сторони на 8:

x = y / 8

Тепер, коли ми знаємо, що x = y / 8, можемо знайти вираз для сторони AC:

AC = x + y

AC = y / 8 + y

AC = (1/8 + 1)y

AC = (9/8)y

Тепер нам залишилось знайти значення y. Знаємо, що відрізок BK : KC = 4 : 9, тому можемо записати:

BK : KC = 4 : 9

x : y = 4 : 9

Згідно задачі, BK = x, а KC = y, тому можемо підставити вираз x = y / 8 в перше рівняння:

y / 8 : y = 4 : 9

Тепер розв'яжемо це рівняння:

9y = 8 * 4

9y = 32

y = 32 / 9

y ≈ 3.56 см

Тепер, коли ми знайшли значення y, можемо знайти значення сторони AC:

AC = (9/8) * y

AC ≈ (9/8) * 3.56

AC ≈ 4.05 см

Отже, сторона AC трикутника ABC приблизно дорівнює 4.05 см.