Question

прямоугольные равнобедренные треугольники ABC и ВDС с прямыми углами в вершине C не лежат в одной плоскости. Их гипотенузы равны 3 см. Расстояние между точками A и D также равно 3 см . Докажите что плоскости ABC и DBC взаимно перпендикулярны

Answer 1

В треугольнике АВС:                                  9=2АС^2

угол С = 90°, АВ = 3см -> АВ^2=AC^2+BC^2=2AC^2 т.к. по условию он равнобедренный. получаем АС=3/√2.

Стоит отметить, что АС перпендикулярна ВС.

В треугольнике ВDC:

∠C=90°    BD=3см --> CD=3/√2; CD⊥CB.

Угол между (АВС) и (ВСD) = углу между АС и СD т.к. они ⊥ к линии пересечения, то есть к ВС.

В треугольнике ADC:

AC=3/√2=CD и AD=3 по условию, если ∠D=90°, то AC^2+CD^2=AD^2

9/2+9/2=9, действительно. Значит угол между плоскостями равен 90°.

Answer 2

Для доказательства того, что плоскости ABC и DBC взаимно перпендикулярны, рассмотрим следующие шаги:

1. Пусть O - точка пересечения гипотенуз треугольников ABC и DBC (точка O лежит на линии, проходящей через C перпендикулярно гипотенузам).

2. Проведем отрезок OD (где D - вершина треугольника DBC) и отрезок OC (где C - вершина обоих треугольников).

3. Так как треугольник ABC - равнобедренный, то AO и BO являются медианами, и их длины равны. Также, из-за равнобедренности, угол BAC равен углу ABC.

4. Аналогично, так как треугольник DBC - равнобедренный, DO и CO являются медианами, и их длины равны. Также, угол BDC равен углу DBC.

5. Так как расстояние между точками A и D равно 3 см, и углы BAC и BDC равны, то треугольники AOC и DOC являются равными треугольниками по двум сторонам и углу.

6. Из пункта 5 следует, что угол AOC равен углу DOC.

7. Так как угол AOC и угол DOC являются вертикальными углами, то эти углы равны между собой.

8. Поскольку угол AOC равен углу DOC, а угол AOC лежит в плоскости ABC, а угол DOC лежит в плоскости DBC, то эти две плоскости образуют прямой угол и, следовательно, взаимно перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что плоскости ABC и DBC взаимно перпендикулярны.