Question

Радиус окружности описанной около правильного многоугольника равен 8 см. Радиус окружности вписанного в него равен 4 см. Найдите длину стороны и количество сторон правильного многоугольника.

Answer 1

Радиус окружности описанной около правильного многоугольника (R), Радиус окружности вписанного в него (r)   и половина стороны (а/2) многоугольника образуют прямоугольный треугольник, где R гипотенуза этого Δ .  Соотношение катета r этого треугольника и гипотенузы R   ⇒4:8=1/2 означает что угол между R и r равен 60° то есть угол опирающийся на половину стороны 60°, а значит на всю сторону а   равен 120° значит число сторон многоугольника n=360°:120°=3 -это треугольник.

найдем его сторону, по теореме Пифагора а/2= √8²-4²=√64-16= 4√3  ⇒ а=8√3

Answer 2

Давайте обозначим длину стороны правильного многоугольника через "s", а количество сторон - через "n".

Зная, что радиус описанной окружности равен 8 см, а радиус вписанной окружности равен 4 см, мы можем использовать следующие свойства правильного многоугольника:

1. Для описанного правильного многоугольника: радиус описанной окружности (R) связан с длиной стороны (s) следующим соотношением: R = s / (2 * sin(π / n))

2. Для вписанного правильного многоугольника: радиус вписанной окружности (r) связан с длиной стороны (s) следующим соотношением: r = s / (2 * tan(π / n))

Где n - количество сторон многоугольника, π - число Пи (приблизительно 3.14159).

Мы знаем, что R = 8 см и r = 4 см, и хотим найти s и n.

Сначала найдем длину стороны (s):

r = s / (2 * tan(π / n))

Заменим r на 4 и упростим уравнение:

4 = s / (2 * tan(π / n))

Умножим обе стороны на (2 * tan(π / n)):

4 * (2 * tan(π / n)) = s

s = 8 * tan(π / n)

Теперь найдем количество сторон (n):

R = s / (2 * sin(π / n))

Подставим известные значения:

8 = (8 * tan(π / n)) / (2 * sin(π / n))

Умножим обе стороны на (2 * sin(π / n)):

8 * (2 * sin(π / n)) = 8 * tan(π / n)

2 * sin(π / n) = tan(π / n)

Теперь поделим обе стороны на tan(π / n):

2 = 1 / cos(π / n)

cos(π / n) = 1 / 2

Теперь найдем угол π / n, для которого косинус равен 1 / 2:

π / n = π / 3

n = 3

Таким образом, правильный многоугольник имеет 3 стороны (треугольник) и длину стороны (s):

s = 8 * tan(π / 3) ≈ 8 * 1.732 ≈ 13.856 см

Итак, длина стороны равна примерно 13.856 см, а правильный многоугольник имеет 3 стороны (треугольник).