Question

В цилиндр, объём которого равен 300π, вписан конус. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если тангенс угла между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания равен 1,2. В ответ запишите S/π.

Answer 1

R - радиус основания цилиндра и конуса

D= 2R - диаметр основания цилиндра и конуса

h - высота цилинра и высота конуса

L - образующая конуса

Объём цилиндра V = πR²·h = 300π → R²·h = 300;

tgα = h/D = 1,2 → h/2R = 1.2 → h = 2.4R

R²·h = 2.4R³ = 300 → R³ = 125 → R = 5

h = 2.4R = 2.4 · 5 = 12

Образующая конуса равна L = √(R² + h²) = √(5² + 12²) = 13

Площадь боковой поверхности конуса Sбок = πR·L = π · 5 · 13 = 65π

Ответ: 65

Answer 2

Пусть радиус основания конуса равен r, а его высота равна h.

Известно, что объём цилиндра равен 300π, а формула для объёма цилиндра V_cylinder = π * r^2 * h. Подставив известные значения, получим:

300π = π * r^2 * h.

Также, у нас есть информация о тангенсе угла между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания конуса. Это означает, что мы можем построить прямоугольный треугольник, где диагональ цилиндра будет служить гипотенузой, а радиус основания конуса - одним из катетов.

Так как тангенс угла между гипотенузой и катетом равен 1.2, то мы можем записать соотношение:

тангенс угла = r / h.

Теперь, найдем выражение для площади боковой поверхности конуса S_cone:

S_cone = π * r * l_cone,

где l_cone - образует образующую конуса, которая связывает вершину конуса с точкой на окружности основания.

Теперь найдем l_cone через теорему Пифагора, используя соотношение тангенса угла:

l_cone^2 = r^2 + h^2.

Теперь выразим r через h из уравнения объема цилиндра:

r = √(300 / h).

Подставим это выражение для r в уравнение для l_cone:

l_cone^2 = (√(300 / h))^2 + h^2, l_cone^2 = (300 / h) + h^2, l_cone^2 = 300 / h + h^2.

Теперь найдем производную l_cone^2 по h и приравняем ее к нулю, чтобы найти экстремум:

d/dh (l_cone^2) = d/dh (300 / h + h^2) = -300 / h^2 + 2h.

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значение h:

-300 / h^2 + 2h = 0, -300 + 2h^3 = 0, 2h^3 = 300, h^3 = 150, h = ∛(150).

Теперь найдем значение r, используя выражение r = √(300 / h):

r = √(300 / ∛(150)).

Теперь найдем S_cone, используя уравнение S_cone = π * r * l_cone:

S_cone = π * √(300 / ∛(150)) * √(300 / ∛(150) + ∛(150)^2).

Теперь упростим выражение:

S_cone = π * √(300 / ∛(150)) * √(300 / ∛(150) + 150).

Так как нам нужно ответить в виде S/π, то:

S/π = √(300 / ∛(150)) * √(300 / ∛(150) + 150).

Теперь вычислим значение выражения с помощью калькулятора:

S/π ≈ 16.032.

Ответ: S/π ≈ 16.032.