Question

В прямоугольном треугольнике высота проведенная из вершины прямого угла равна медиане проведенной из того же угла. гипотенуза этого треугольника равна 9. Найдите его площадь

Answer 1

Дано:прямоуг.треуг АВС
Высота АН
Медиана АН
ВС=9
Найти:S ABC

Answer 2

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC высота проведена из вершины прямого угла (точка D) и является медианой, а гипотенуза равна 9. Обозначим стороны треугольника следующим образом: AB = c (гипотенуза), BC = a и AC = b.

Так как высота проведена из вершины прямого угла, то треугольник ADC также является прямоугольным, и его тоже можно обозначить как прямоугольный треугольник с гипотенузой c и катетами a и b.

Так как высота AD является медианой треугольника ABC, то она делит его на два равных по площади треугольника: ADB и ADC.

Площадь треугольника можно найти по формуле: площадь = (основание * высота) / 2.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ADB и ADC.

Так как ADB и ADC являются прямоугольными треугольниками, и известны гипотенуза и катеты, можем найти их площади.

Площадь треугольника ADB: площадь_ADB = (AB * AD) / 2 площадь_ADB = (c * (c/2)) / 2 площадь_ADB = (c^2) / 4

Площадь треугольника ADC: площадь_ADC = (AD * DC) / 2 площадь_ADC = ((c/2) * b) / 2 площадь_ADC = (b * c) / 4

Теперь, чтобы найти площадь треугольника ABC, сложим площади ADB и ADC:

площадь_ABC = площадь_ADB + площадь_ADC площадь_ABC = (c^2) / 4 + (b * c) / 4 площадь_ABC = (c^2 + b * c) / 4

Так как из условия задачи известно, что гипотенуза c равна 9:

площадь_ABC = (9^2 + b * 9) / 4 площадь_ABC = (81 + 9b) / 4

Теперь нужно найти значение стороны b. Заметим, что треугольник ABC и ADC подобны, так как у них прямой угол и два угла, прилежащих к гипотенузе, равны. Таким образом, соотношение сторон равно:

b/c = c/b

Отсюда получаем:

b^2 = c^2

9b = 81

b = 81 / 9

b = 9

Теперь можем вычислить площадь треугольника ABC:

площадь_ABC = (81 + 9 * 9) / 4 площадь_ABC = (81 + 81) / 4 площадь_ABC = 162 / 4 площадь_ABC = 40.5

Ответ: площадь треугольника ABC равна 40.5 квадратных единиц (произвольные единицы площади).