Question

В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 16√3, а один из углов трапеции равен 60°.

Answer 1

А, В, С, D - вершины трапеции. АD = 16√3 см. ∠D= 60°. Диагональ АС перпендикулярна СD.

АС : АD = синус 60°. АС = АD х √3/2 = 16√3 х √3/2 = 24 см.

 Вычисляем длину СН через синус ∠САН. ∠САН = 180° - 90° - 60° = 30°.

СН : АС = синус 30°= 1/2.

СН = 24 х 1/2 = 12 см.

 АН : АС = косинус ∠САН = косинус 30° = √3/2.

АН = АС х √3/2 = 24 х √3/2= 12√3 см.

 Согласно свойствам равнобедренной трапеции, (АD + ВС)/2 = АН = 12√3 см .

 Площадь трапеции = (ВС + АD)/2 х СН = 12√3 х 12 = 144√3 см².

Answer 2

Для решения этой задачи, обозначим трапецию ABCD, где AB - основание, CD - основание, AD = BC - боковые стороны, и AC - диагональ, перпендикулярная боковой стороне BC.

Мы знаем, что AD = BC и один из углов трапеции равен 60°. Из этих данных следует, что трапеция ABCD является равнобедренной, и углы A и B равны 60°.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°. Мы знаем, что AC - это диагональ трапеции, поэтому он делит угол C пополам, что означает, что угол ACB равен 45°.

Теперь у нас есть все необходимые углы для прямоугольного треугольника ABC, и одна из его сторон равна 16√3 (большее основание трапеции). Мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти оставшиеся стороны треугольника:

1. Определим длину стороны BC: BC = AB - 2 * (BC * sin(60°)) BC = 16√3 - 2 * (BC * √3/2) BC = 16√3 - √3 * BC

Теперь перенесем все BC на одну сторону уравнения: BC + √3 * BC = 16√3 (1 + √3) * BC = 16√3

Теперь найдем BC: BC = 16√3 / (1 + √3) BC = 16√3 * (√3 - 1) / ((√3 - 1)(√3 + 1)) BC = 16√3 * (√3 - 1) / (3 - 1) BC = 8√3 * (√3 - 1)

2. Определим длину стороны AC: AC = BC * cos(45°) AC = 8√3 * (√3 - 1) * √2

Теперь, когда мы знаем длины сторон AB, BC и AC, можем найти площадь трапеции:

Площадь трапеции = ((AB + CD) * h) / 2, где h - это высота трапеции (расстояние между основаниями).

Так как AD = BC, высота h равна длине стороны AC:

Площадь трапеции = ((16√3 + 16√3) * (8√3 * (√3 - 1) * √2)) / 2 Площадь трапеции = (32√3 * (8√3 * (√3 - 1) * √2)) / 2 Площадь трапеции = 16√3 * (8√3 * (√3 - 1) * √2) Площадь трапеции = 128 * 2 * (√3 - 1) * √2 Площадь трапеции = 256 * (√3 - 1) * √2

Таким образом, площадь трапеции равна 256 * (√3 - 1) * √2 квадратных единиц.