Question

Острый угол прямоугольного треугольника равен 30˚. На его гипотенузу опустили высоту. В каком отношении она ее делит?

Answer 1

Пусть дан ΔАВС, у которого ∠С =90°, и на гипотенузу АВ опущена высота СЕ. Точка Е лежит на АВ, Против угла в 30° лежит катет АС, равный половине гипотенузы АВ, пусть АС =х, тогда АВ =2х, Но в ΔСВЕ тоже есть угол В =30°, и против него лежит катет СЕ, т.е. высота ΔАВС, которая равна Половине гипотенузы СВ в ΔСВЕ. Из ΔАВС можно найти СВ по теореме ПИфагора, √(2х)²-х²=х√3. Значит, ВЕ равна СВ*cos30°=х√3*√3/2=3х/2.

Тогда АЕ равна 2х -3х/2= х/2. И отношение АЕ/ВЕ = х/2:(3х/2)=1:3

Ответ 1:3

Answer 2

Для решения этой задачи обратимся к определению тригонометрических функций в прямоугольных треугольниках. В данном случае у нас прямоугольный треугольник с острым углом 30°. Пусть сторона, противолежащая этому углу, равна a, сторона, прилежащая к углу 30°, равна b, а гипотенуза треугольника равна c.

Таким образом, у нас есть следующие отношения:

1. Синус угла 30° (sin 30°) равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе: sin 30° = a/c.
2. Косинус угла 30° (cos 30°) равен отношению прилежащей стороны к гипотенузе: cos 30° = b/c.

Известно, что в прямоугольном треугольнике высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, делит его на два подобных прямоугольных треугольника.

Пусть h - высота, которая делит гипотенузу на две части x и y, где x - часть гипотенузы между вершиной прямого угла и основанием, а y - оставшаяся часть гипотенузы.

Тогда согласно подобным треугольникам:

1. В меньшем треугольнике: sin 30° = h / x.
2. В большем треугольнике: sin 60° = h / y.

Но sin 30° = 1/2, а sin 60° = √3/2 (вы можете проверить это в таблицах тригонометрических значений).

Теперь, чтобы решить задачу, сравним эти два уравнения:

1/2 = h / x, √3/2 = h / y.

Чтобы упростить решение, допустим, что гипотенуза c имеет длину 2. Тогда:

x + y = c = 2.

Теперь можем решить систему уравнений:

1/2 = h / x => h = x / 2, √3/2 = h / y => h = √3 * y / 2.

Подставим значение h из первого уравнения во второе:

x / 2 = √3 * y / 2.

Теперь выразим y:

y = x / √3.

Таким образом, высота h делит гипотенузу на две части x и y в отношении x : y = 1 : √3.

Если гипотенуза c не равна 2, а имеет длину с, то соотношение будет тем же: x : y = c : c/√3, или более просто, x : y = √3 : 1.