Question

Основание пирамиды SABCD – параллелограмм ABCD , точки M и N – середины рёбер SC и SD соответственно. Прямые SA , BM и CN попарно перпендикулярны. Найдите объём пирамиды, если SA=a , BM=b , CN=c .

Answer 1

O - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.

MO - средняя линия в SCA, MO=SA/2 =a/2

MO||SA => MO⊥BM, S(BMO)=BM*MO/2 =ab/4

MO - медиана, S(BMD)=2S(BMO) =ab/2

H - точка пересечения медиан в DSC, CH=2/3 CN =2/3 c

CN⊥SA => CN⊥MO, CN⊥BM => CN⊥(BMD)

CH - высота в пирамиде CBMD, V(CBMD)=S(BMD)*CH/3 =abc/9

Перпендикуляр из S к плоскости (ABC) вдовое больше перпендикуляра из M, площадь ABCD вдвое больше площади BCD, следовательно S(SABCD)=4S(CBMD) =4/9 abc

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим геометрические свойства пирамиды и воспользуемся формулой для объёма пирамиды.

1. Вспомним формулу для объёма пирамиды: Объём пирамиды V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

2. Поскольку SABCD - параллелограмм, его площадь можно найти как произведение длин двух сторон, взятых синусом угла между ними: S = AB * AD * sin(угол BAC), где AB = BM = b, AD = CN = c, и угол BAC = угол MAB = 90° (прямой угол между прямыми SA и BM).

3. Найдем высоту пирамиды h. Рассмотрим треугольник SCN, в котором CN = c (половина стороны пирамиды), а угол CSN = 90° (так как прямая CN перпендикулярна SC). Теперь мы можем найти высоту этого треугольника по теореме Пифагора: h = sqrt(SC^2 - CN^2), где SC = 2 * SA = 2 * a (так как M и N - середины ребер SC и SD соответственно).

Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота пирамиды, мы можем вычислить объем пирамиды:

V = (1/3) * S * h V = (1/3) * (b * c * sin(угол BAC)) * sqrt((2 * a)^2 - c^2)

Итак, объём пирамиды равен:

V = (1/3) * b * c * sqrt(4a^2 - c^2) * sin(угол BAC)