Question

В прямоугольном треугольнике ABC угол B = 90°, угол А = 60°, AD - биссектриса треугольника, AD = 8 см. Найдите длину катета BC. Помогите пожалуйста. ​

Answer 1

Рассмотрим треугольник ABD, угол BАD=30*, следовательно BD=AD/2=4см.

Рассмотрим треугольник ADC, угол DAC=30*. (1)

Рассмотрим треугольник AВС, угол ВСА=30* (т.к. угол АВС=90*, а угол ВАС=60*) (2)

Из (1) и (2) следует, что треугольник ACD - равносторонний, DC=AD= 8.

ВС=BD+DC=4+8=12 см

Ответ: 12 см

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, которая устанавливает связь между длинами сторон треугольника и синусами его углов:

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и катетами a и b: sin(A) = a / c sin(B) = b / c

Для треугольника ABC имеем следующие данные: B = 90° (прямой угол) A = 60° AD = 8 см

Так как AD - биссектриса треугольника, то точка D делит сторону BC на две равные части. Обозначим длину катета BC как x, тогда BD = DC = x/2.

Теперь, применяя теорему синусов к треугольнику ABD и ACD, получим следующие уравнения:

1. Для треугольника ABD: sin(A) = BD / AD sin(60°) = (x/2) / 8

2. Для треугольника ACD: sin(A) = DC / AD sin(60°) = (x/2) / 8

Так как sin(60°) = √3 / 2, подставим это значение в уравнения:

1. √3 / 2 = (x/2) / 8
2. √3 / 2 = (x/2) / 8

Теперь решим уравнение относительно x:

1. x/2 = 8 * √3 / 2 x = 8 * √3

2. x/2 = 8 * √3 / 2 x = 8 * √3

Получили, что x = 8 * √3 см. Таким образом, длина катета BC равна 8 * √3 см.