Question

Высота правильного треугольника равна 9 см. Найти площадь описанного около него круга

Answer 1

Рассмотрим правильный ΔABC

AH = AC/2 = AB/2 (в правильном треугольнике все стороны равны; высота правильного треугольника является его медианой, т. е. делит сторону треугольника на 2 равные части)

Рассмотрим ΔABH: AH = AB/2, BH = 9 см.

По теореме Пифагора

AB² = AH² + BH²

$\displaystyle\tt AB^2=\Big(\frac{AB}{2}\Big)^2+9^2\\\\\\AB^2=\frac{AB^2}{4}+81\\\\\\AB^2-\frac{AB^2}{4}=81\\\\\\\frac{4AB^2-AB^2}{4}=81\\\\\\\frac{3AB^2}{4}=81\\\\3AB^2=4\cdot81\\\\3AB^2=324\\\\\\AB^2=\frac{324}{3}=108\\\\AB=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3} =6\sqrt{3}~cm$

Воспользуемся формулой для стороны правильного треугольника

a₃ = R√3, где a₃ - сторона правильного треугольника, R - радиус описанной около него окружности

Подставляем

6√3 = R√3

$\displaystyle\tt R=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6~cm$

Формула площади круга:

S = πR², где S - площадь круга, π - число Пи (≈ 3,14), R - радиус круга

Подставляем

S = π * 6² = 36π см²

Ответ: S = 36π см²

Answer 2

Для нахождения площади описанного около правильного треугольника круга, нам понадобится радиус этого круга. Мы можем воспользоваться теоремой описанной окружности для равностороннего треугольника.

В равностороннем треугольнике, описанная окружность проходит через вершины треугольника и пересекает середины его сторон. Радиус окружности равен половине длины стороны треугольника.

Таким образом, чтобы найти радиус описанной около треугольника круга, мы можем разделить длину одной стороны треугольника на 2.

В правильном треугольнике все стороны равны, поэтому радиус окружности равен половине длины любой стороны.

Длина стороны треугольника = 9 см Радиус окружности = 9 см / 2 = 4.5 см

Теперь, когда у нас есть радиус окружности, мы можем найти площадь круга по формуле:

Площадь круга = π * (Радиус)^2

Подставим значение радиуса:

Площадь круга = π * (4.5 см)^2 ≈ 63.585 см²

Ответ: Площадь описанного около правильного треугольника круга составляет приблизительно 63.585 квадратных сантиметра.