Question

З точки А, що лежить поза колом з центром О, проведено до нього дотичні АВ і АС ( В і С-точки дотику). Доведіть, що АО-бісектриса кута ВАС.​

Answer 1

Рассмотрим ΔОСА И ΔОВА   Они прямоугольные, т.к. равны радиусы ОС иОВ проведенные в точку касания, радиусы эти перпендикулярны касательным, а ОА - для них общая гипотенуза, значит, в равных треугольниках против равных сторон ОС и ОВ равны углы    ∠ОАС=∠ОАВ, значит  , луч АО делит угол ВАС пополам и выходит из его вершины, т.е. является биссектрисой угла ВАС. ЧТД.

Answer 2

Для доведення того, що АО є бісектрисою кута ВАС, ми використаємо властивість дотичної до кола.

Позначимо точку перетину відрізка ВС з променем АО як D.

За властивістю дотичної до кола, дотична до кола у точці дотику є перпендикулярною до радіуса, проведеного до точки дотику. Тобто, ми можемо записати:

AB ⊥ AO, AC ⊥ AO.

Також, оскільки ВС - дотична до кола, то ВС ⊥ радіусу ОС у точці дотику С.

Тепер розглянемо трикутник АВС. Ми маємо дві перпендикулярні лінії з одного кута А, а отже, за властивостями, вони є бісектрисами цього кута.

Оскільки ВD ⊥ ВС, і ВD є променем, що виходить з центра кола О, він є радіусом кола О. Таким чином, ми отримали, що ВD ⊥ ОС.

Тепер ми маємо дві бісектриси в трикутнику ВАС (ВD і АО), які перетинаються у точці О. Таким чином, АО є бісектрисою кута ВАС.