Question

З точки А, що лежить поза колом з центром у точці О, проведено дотичні АВ і АС ( В і С – точки дотику). ∠ВАС=60°. Знайти довжину радіуса кола, якщо ОА=15см.

Answer 1

Ответ:

7,5 см

Объяснение:

Касательные, проведённые с одной точки равны. Значит АВ = АС

ОВ = ОС - как радиусы

ОА - как общая сторона

Значит по третьему признаку равенства треугольников, ΔАВО = ΔАСО

из этого ∠ВАО = ∠САО = 60° : 2 = 30°

В прямоугольном треугольнике, катет лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы.

Возьмём ΔОВА. Против угла 30° лежит катет ОВ - он же радиус.

Значит ОВ = АО : 2 = 15 : 2 = 7,5 см

Из этого радиус круга равен 7,5 см

Answer 2

Давайте позначимо деякі величини для зручності розв'язання:

• Нехай $O$ - центр кола.
• $A$ - точка на колі.
• $B$ і $C$ - точки дотику дотичних $AV$ і $AC$ відповідно.
• $R$ - радіус кола (що потрібно знайти).
• $OA$ - дана довжина, $OA = 15$ см.
• $\angle VAC = 60^\circ$.

Треба знайти значення $R$.

Оскільки $OA$ - радіус кола, то відомо, що $OA = OB = OC = R$, оскільки точки $B$ і $C$ є точками дотику дотичних, і тому вони лежать на відстані $R$ від центра $O$.

Ми можемо розглянути трикутник $OAB$. Оскільки $OA = OB$, то він є рівнобедреним. Оскільки $\angle VAC = 60^\circ$, тоді $\angle OAB = \frac{1}{2} \cdot \angle VAC = 30^\circ$.

Знаючи, що сума кутів в трикутнику дорівнює $180^\circ$, можемо знайти $\angle ABO$:

$\angle ABO = 180^\circ - 2 \cdot \angle OAB = 180^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 120^\circ.$

Тепер ми маємо відому сторону $OA$ та два кути в трикутнику $OAB$. Можемо застосувати теорему синусів для знаходження сторони $AB$:

$\frac{AB}{\sin \angle ABO} = \frac{OA}{\sin \angle OAB}.$

Підставляючи відомі значення:

$\frac{AB}{\sin 120^\circ} = \frac{15}{\sin 30^\circ}.$

Отримаємо:

$AB = \frac{15 \cdot \sin 120^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{15 \cdot \sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 30 \cdot \sqrt{3}.$

Знаючи, що $AB = R$, ми можемо знайти радіус кола $R$:

$R = 30 \cdot \sqrt{3}.$

Таким чином, довжина радіуса кола дорівнює $30 \cdot \sqrt{3}$ см.