Question

В параллелограмме острый угол равен 45 , а диагональ делит тупой угол в отношении 2:1. Вычислите площадь параллелограмма, если его меньшая диагональ равна 8 см.

Answer 1

Решение задачи во вложении

Answer 2

Для решения задачи, давайте обозначим параллелограмм как ABCD, где точка A и точка D соответствуют острым углам, а точка B и точка C — тупым углам.

1. Найдем угол между диагоналями параллелограмма: Угол между диагоналями равен половине суммы углов параллелограмма. У нас есть острый угол равный 45°, следовательно, тупой угол равен 180° - 45° = 135°. Таким образом, угол между диагоналями равен (135° + 45°)/2 = 90°.

2. Известно, что диагональ делит тупой угол в отношении 2:1. Пусть x будет длиной меньшей части тупого угла, тогда большая часть равна 2x.

3. Обозначим стороны параллелограмма: AB = a (сторона параллелограмма) BC = b (сторона параллелограмма)

4. Запишем связь между сторонами и диагоналями параллелограмма с помощью тригонометрических функций для прямоугольного треугольника BCD, где угол BCD равен 90°:

cos(45°) = x/b cos(45°) = (2x)/a

5. Теперь решим уравнения относительно x и a: x/b = cos(45°) => x = b * cos(45°) (2x)/a = cos(45°) => 2x = a * cos(45°)

6. Найдем выражение для b через a: a * cos(45°) = 2 * b * cos(45°)

7. Из условия задачи, меньшая диагональ BD равна 8 см: BD = 8 см

8. Найдем выражение для BD через стороны a и b: BD^2 = a^2 + b^2 8^2 = a^2 + b^2

9. Подставим выражение для b из пункта 6 в уравнение для BD: 8^2 = a^2 + (a * cos(45°))^2

10. Решим уравнение относительно a: 64 = a^2 + a^2 * cos^2(45°) 64 = a^2 * (1 + cos^2(45°)) 64 = a^2 * (1 + 0.5) (поскольку cos^2(45°) = 0.5) 64 = a^2 * 1.5 a^2 = 64 / 1.5 a^2 = 42.67

11. Найдем сторону a: a = √(42.67) ≈ 6.53 см

12. Теперь найдем сторону b из выражения для b через a из пункта 6: b = a * cos(45°) ≈ 6.53 * 0.7071 ≈ 4.62 см

13. Теперь, когда мы знаем стороны a и b, вычислим площадь параллелограмма: Площадь = a * b * sin(45°) (поскольку угол между сторонами a и b равен 45°) Площадь ≈ 6.53 * 4.62 * sin(45°) Площадь ≈ 30.15 кв. см

Ответ: Площадь параллелограмма составляет примерно 30.15 квадратных сантиметров.