Question

доведіть що чотирикутник авсd з такими вершинами є прямокутником а(3,-1),в(2,3),с(-2,2),d(-1,-2).з геометрії​

Answer 1

Ответ:

Четырехугольник АВСD - кавдрат, то есть прямоугольник. Что и требовалось доказать.

Объяснение:

Вершины четырехугольника А(3,-1), В(2,3), С(-2,2), D(-1,-2).

1. Найдем длины сторон четырехугольника.

|AB| = √((Xb-Xa) ²+(Yb-Ya) ²) =

√((2-3)²+(3-(-1))²) = √(1+16) =√17.

|CD| = √((Xd-Xc) ²+(Yd-Yc) ²) =

√((-1-(-2))²+(-2-2)²) = √(1+16) =√17.

|BC| = √((Xc-Xb) ²+(Yc-Yb) ²) =

√((-2-2)²+(2-3))²) = √(16+1) =√17.

|AD| = √((Xd-Xa) ²+(Yd-Ya) ²) =

√((-1-3)²+(-2-(-1))²) = √(16+1) =√17.

Так как ВСЕ стороны четырехугольника  равны, то этот четырехугольник является или ромбом, или квадратом.

Найдем угол между соседними сторонами:

CosA = (Xab*Xad + Yab*Yad)/(|AB|*|AD|) =

(-1*-4 + 4*-1)/(|AB|*|AD|) = 0/17 = 0.

Так как угол А прямой (<A = arccos0  = 90°), следовательно, четырехугольник является квадратом, то есть ПРЯМОУГОЛЬНИКОМ. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є прямокутником, необхідно показати, що він має чотири праві кути (кути прямі). Для цього перевіримо, чи має чотирикутник ABCD прямі кути за допомогою властивостей координат точок у прямокутній системі координат.

Кут між двома векторами можна обчислити за допомогою скалярного добутку. Якщо кут між векторами дорівнює 90 градусам, то вони перпендикулярні, і кут в цій точці є прямим кутом.

Вектор можна представити у вигляді (x, y), де x - це різниця координат по осі X, а y - різниця координат по осі Y.

Вектор AB: (2 - 3, 3 - (-1)) = (-1, 4) Вектор BC: (-2 - 2, 2 - 3) = (-4, -1) Вектор CD: (-1 - (-2), -2 - 2) = (1, -4) Вектор DA: (3 - (-1), -1 - (-2)) = (4, 1)

Тепер, щоб перевірити, чи є кути прямими, порівняємо скалярний добуток кожних двох суміжних векторів:

AB • BC = (-1) * (-4) + 4 * (-1) = 4 + 4 = 8 BC • CD = (-4) * 1 + (-1) * (-4) = -4 + 4 = 0 CD • DA = 1 * 4 + (-4) * 1 = 4 - 4 = 0 DA • AB = 4 * (-1) + 1 * 4 = -4 + 4 = 0

Якщо скалярний добуток між двома векторами дорівнює нулю, то вони перпендикулярні, тобто утворюють прямий кут. За результатами обчислень, ми бачимо, що BC перпендикулярний до AB, а CD і DA перпендикулярні один до одного.

Отже, чотирикутник ABCD є прямокутником, оскільки всі його кути є прямими кутами.