Question

В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС внешний угол при вершине С равен 150 градусом; АС - АВ = 6 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Answer 1

Т.к. внешний угол при угле С равен 150° значит угол С равен 30°. А по признаку сторона прямоугольного треугольника лежащая против угла в 30° равна половине гипотенузы.

Пусть АВ это х значит АС 2х, зная что АС-АВ=6см составляем уравнение:

2х-х=6

х=6

2х=12

Значит АС=12см

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусами его углов.

В данной задаче у нас прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС, и у нас есть информация о внешнем угле при вершине С, равном 150 градусам, а также разнице длин сторон АС и АВ, равной 6 см.

Обозначим длину гипотенузы АС как c, длину стороны АВ как b и длину стороны BC как a.

Теорема косинусов гласит:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos(С)

где С - угол при вершине C.

Поскольку С - внешний угол треугольника АВС, он равен сумме внутреннего угла треугольника BАС и прямого угла в вершине А, то есть 150° + 90° = 240°.

Теперь можем записать:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos(240°)

Также у нас есть информация о разнице длин сторон АС и АВ:

c - b = 6 см

Мы можем выразить b из этого уравнения:

b = c - 6

Теперь подставим b в первое уравнение:

a^2 = (c - 6)^2 + c^2 - 2c(c - 6) * cos(240°)

a^2 = c^2 - 12c + 36 + c^2 + 2c(c - 6) * cos(120°)

Поскольку cos(120°) = -1/2, продолжим упрощение:

a^2 = c^2 - 12c + 36 + c^2 - 2c(c - 6) * (-1/2)

a^2 = c^2 - 12c + 36 + c^2 + c(c - 6)

a^2 = 2c^2 - 12c + 36

Теперь у нас есть уравнение для квадрата длины стороны a.

Теперь обратим внимание на прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора, длина гипотенузы равна:

c^2 = a^2 + b^2

Мы уже выразили b через c:

b = c - 6

Теперь подставим это в уравнение:

c^2 = a^2 + (c - 6)^2

c^2 = a^2 + c^2 - 12c + 36

Теперь заменим a^2 на 2c^2 - 12c + 36 из предыдущего уравнения:

c^2 = 2c^2 - 12c + 36 + c^2 - 12c + 36

c^2 = 3c^2 - 24c + 72

Теперь приведем все в одно уравнение:

2c^2 - 12c + 36 = 3c^2 - 24c + 72

Переносим все в одну сторону:

2c^2 - 12c + 36 - 3c^2 + 24c - 72 = 0

Упрощаем:

-c^2 + 12c - 36 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

c^2 - 12c + 36 = 0

(c - 6)(c - 6) = 0

c = 6

Таким образом, гипотенуза треугольника АВС равна 6 см.