Question

3.3.Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(2;-2), B(-2;-1), C(-1;3), D(3;2) є прямокутником. Срочно!!!

Answer 1

Ответ:

Объяснение: Знайдемо координати середин діагоналей АС і ВD

х=2+(-1)/2=0,5 у=-2+3/2=0,5

отже точка (0,5 0,5) середина діалоналі АС

Для діагоналі ВD маємо х=-2+3/2=0.5  у=-1+2/2=0,5

отже точка (0,5 0.5) середина діагоналі ВD

середини обох діагоналей збігаються тому цей чоторикутник є папалелограм

Знайдемо довжини його діагоналей

АС2 = (2+1)2+ (-2-3)2=9+25=36

АС = 6

ВD2 = (-2-3)2 + (-1-2)2=25+9=36

ВD = 6

АС = ВD отже паралелограм у якого діагоналі рівні є прямокутником

Доведено

Answer 2

Для того щоб довести, що чотирикутник ABCD є прямокутником, нам потрібно перевірити, чи виконуються умови прямокутника. Чотирикутник буде прямокутним, якщо його протилежні сторони будуть перпендикулярними (тобто мають прямий кут між собою) і довжини протилежних сторін будуть рівними.

Спочатку знайдемо довжини сторін чотирикутника ABCD:

Сторона AB: AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) AB = √((-2 - 2)² + (-1 - (-2))²) AB = √((-4)² + (1)²) = √(16 + 1) = √17

Сторона BC: BC = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) BC = √((-1 - (-2))² + (3 - (-1))²) BC = √((1)² + (4)²) = √(1 + 16) = √17

Сторона CD: CD = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) CD = √((3 - (-1))² + (2 - 3)²) CD = √((4)² + (1)²) = √(16 + 1) = √17

Сторона DA: DA = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) DA = √((3 - 2)² + (2 - (-2))²) DA = √((1)² + (4)²) = √(1 + 16) = √17

Тепер, щоб довести, що ABCD - прямокутник, ми маємо перевірити, чи справджується теорема Піфагора для довжин сторін. Тобто, чи виконується співвідношення a² + b² = c² для сторін, де a, b, c - це довжини сторін чотирикутника ABCD.

AB² + BC² = CD² + DA² (√17)² + (√17)² = (√17)² + (√17)² 17 + 17 = 17 + 17 34 = 34

Отже, умова виконується. Чотирикутник ABCD є прямокутником, оскільки довжини протилежних сторін рівні, а протилежні сторони перпендикулярні.