Question

Найдите координаты центра и радиус окружностей, заданных следующим уравнением x²-6x+y²+14y-6=0

Answer 1

Уравнение окружности в общем случае имеет вид
${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0}) }^{2} = {r}^{2}$
где (х0; у0) -центр окружности; r - радиус окружности.

Выделим в данном уравнении полные квадраты относительно переменных х и у:
${x}^{2} - 6x + {y}^{2} + 14y - 6 = 0 \\ ({x}^{2} - 2 \times x \times 3 + {3}^{2} ) - {3}^{2} + \\ + ( {y}^{2} + 2 \times y \times 7 + {7}^{2} ) - {7}^{2} - 6 = 0 \\ {(x - 3)}^{2} + {(y + 7)}^{2} = 6 + 49 + 9 \\ {(x - 3)}^{2} + {(y + 7)}^{2} = 64 \\ {(x - 3)}^{2} + {(y + 7)}^{2} = {8}^{2}$
Таким образом, (3;-7) - центр окружности, 8 - радиус окружности.

Answer 2

Для нахождения координат центра и радиуса окружности, заданной уравнением вида x² + y² + Dx + Ey + F = 0, мы должны преобразовать уравнение к стандартному виду окружности.

Стандартное уравнение окружности имеет форму (x - h)² + (y - k)² = r², где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Для этого, давайте завершим квадраты в исходном уравнении:

x² - 6x + y² + 14y - 6 = 0

Перенесем свободный член на правую сторону:

x² - 6x + y² + 14y = 6

Теперь завершим квадрат для x и y, добавляя и вычитая соответствующие значения:

x² - 6x + 9 + y² + 14y + 49 = 6 + 9 + 49

(x - 3)² + (y + 7)² = 64

Теперь уравнение окружности находится в стандартной форме. Мы можем выделить центр и радиус:

Центр окружности: (h, k) = (3, -7)

Радиус окружности: r = √(64) = 8

Таким образом, центр окружности находится в точке (3, -7), а радиус равен 8.