Question

Пожалуйста помогите . Докажите что вершины А и С треугольника АВС равноудалены от прямой , проходящей через медиану ВМ.

Answer 1

Опустим перпендикуляры AH и CH' на прямую BM. Так как это перпендикуляры к одной прямой, AH || CH'.

Рассмотрим ΔAHM и ΔCH'M:

1. AM = CM по условию;
2. ∠AMH = ∠CMH' как вертикальные;
3. ∠MAH = ∠MCH' как накрест лежащие;

Отсюда эти треугольники равны по двум углам и стороне между ними. Значит, все соответствующие элементы тоже равны ⇒ AH = CH', но это расстояния до BM. Значит, точки A и C равноудалены от BM, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что вершины А и С треугольника АВС равноудалены от прямой, проходящей через медиану ВМ, нам понадобится использовать свойства медиан треугольника.

Пусть M - точка пересечения медиан треугольника АВС, проведенных из вершин В и М. Таким образом, M - середина стороны АС треугольника.

Для начала, давайте докажем, что М является серединой отрезка АС.

Доказательство: Рассмотрим медиану АМ треугольника АВС, проведенную из вершины А.

1. Так как М - точка пересечения медиан АМ и ВМ, то она делит медиану ВМ пополам (по определению медианы). ВМ = ММ (1)

2. Также, по свойству медианы, точка М делит сторону ВС треугольника пополам. ВС = 2 * МС (2)

Теперь, объединим (1) и (2):

ВМ = ММ = 2 * МС

Отсюда следует, что М является серединой отрезка АС.

Теперь, чтобы доказать, что вершины А и С равноудалены от прямой, проходящей через медиану ВМ, рассмотрим два случая:

1. Вершина А лежит на линии медианы ВМ: В этом случае, расстояние от вершины А до прямой, проходящей через ВМ, равно расстоянию от вершины С до этой же прямой. Это происходит потому, что точка М является серединой отрезка АС.

2. Вершина А не лежит на линии медианы ВМ: Если вершина А лежит в другой полуплоскости относительно линии ВМ, чем вершина С, тогда обе вершины находятся на одинаковом расстоянии от линии ВМ. Это также следует из свойства медиан треугольника, которое гласит, что медиана делит треугольник на две фигуры равной площади.

Таким образом, в обоих случаях вершины А и С треугольника АВС равноудалены от прямой, проходящей через медиану ВМ.