Question

у рівнобічній трапеції ,периметр якої 62 см,діагональ є бісектрисою гострого кута.Знайдіть основи трапеції,якщо її висота дорівнює 12 см

Answer 1

Поскольку BD - биссектриса угла CDA, то ∠ADB = ∠BDC.

∠ADB = ∠DBC как накрест лежащие углы при AD║ BC и секущей BD, следовательно, ΔBCD - равнобедренный ⇒ BC = CD = AB. Достроим до параллелограмма BCDE, в нём BCDE - ромб.

P = AB + BC + CD + AD = 3AB + AD   ⇒   AD = 62 - 3 AB

AE = AD - DE = 62 - 3AB - AB = 62 - 4AB

AF = FE = 0.5 * AE = 31 - 2AB

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABF

$AB^2=BF^2+AF^2\\ \\ AB^2=12^2+(31-2AB)^2\\ \\ AB^2=144+961-124AB+4AB^2\\ \\ 3AB^2-124AB+1105=0\\ \\ AB=13\\ \\ AB=\dfrac{83}{5}$

Значение, AB = 83/5 не подходит, так как AD = 62 - 3 * 85/3 < 0 что не может быть отрицательным.

BC = AB = 13 см, тогда AD = 62 - 3 * 13 = 23 см.

Ответ: 13 см и 23 см.

Answer 2

Назвемо основи трапеції "a" і "b". За умовою задачі, периметр трапеції складає 62 см. Периметр трапеції визначається як сума довжин усіх її сторін:

P = a + b + c + d,

де a і b - основи трапеції, c і d - бічні сторони трапеції.

Також, за умовою, діагональ є бісектрисою гострого кута. Діагональ розбиває трапецію на два прямокутні трикутники, причому вони мають спільну діагональ як бісектрису гострого кута.

Ми знаємо, що висота трапеції дорівнює 12 см. Висота - це перпендикулярна відстань між основами трапеції. Таким чином, висота поділяє трапецію на два прямокутні трикутники, в яких вона є висотою.

Застосуємо теорему Піфагора до одного з цих трикутників. Візьмемо трикутник зі сторонами a, 12 см і діагоналлю як гіпотенузу. Нехай гіпотенуза дорівнює c, а потім використаємо теорему Піфагора:

c^2 = a^2 + 12^2.

Так як діагональ є бісектрисою гострого кута, то другий прямокутний трикутник матиме сторони b, 12 см і діагональ як гіпотенузу. Використаємо теорему Піфагора для другого трикутника:

c^2 = b^2 + 12^2.

Оскільки діагоналі мають однакову довжину, ми можемо прирівняти вирази:

a^2 + 12^2 = b^2 + 12^2.

Залишаючи 12^2 на обох боках рівняння, отримаємо:

a^2 = b^2.

Так як рівнобічна трапеція має однакові бічні сторони, a = b.

Тепер ми можемо скласти рівняння для периметру трапеції:

P = a + a + c + d = 2a + c + d = 62.

Замінюємо c^2 на a^2 + 12^2, отримане раніше:

2a + a^2 + 144 = 62.

Згрупуємо подібні члени:

a^2 + 3a + 82 = 0.

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння за допомогою факторизації, знаходження квадратного кореня або за допомогою квадратного рівняння. Однак, у даному випадку, це рівняння не має розв'язків, оскільки дискримінант (коефіцієнт перед a в квадратному члені) є від'ємним (D = b^2 - 4ac).

Отже, задача не має розв'язку з даними умовами.