Question

в равнобедренном треугольнике с основанием а и тангенсом угла при основании, равном , длина медианы, проведенной к боковой стороне, равна

Answer 1

Рассмотрим прямоугольный треугольник BAE

${\rm tg}\, \angle BAE=\dfrac{BE}{AE}~~\Rightarrow~~ BE=AE\cdot {\rm tg}\, \angle BAE=\dfrac{a}{2}\sqrt{7}$

По теореме Пифагора

$AB=\sqrt{BE^2+AE^2}=\sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt{7}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{7a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$

Достроим до параллелограмма ABFC. Сумма квадратов диагоналей равен сумме его всех сторон

$AF^2+BC^2=2(AB^2+AC^2)\\ \\ AF^2+AB^2=2AB^2+2AC^2\\ \\ AF^2=AB^2+2AC^2=\left(a\sqrt{2}\right)^2+2a^2=4a^2\\ \\ AF=2a$

Следовательно, AD = AF/2 = 2a/2 = a.

Ответ: a.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим следующие величины:

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = a (основание), и тангенс угла при основании равен т.

Пусть M - это точка пересечения медиан треугольника ABC, проведенных из вершины A к противоположной стороне BC.

Медиана, проведенная из вершины A, разделяет основание BC пополам, поэтому BM = MC = a/2.

Также известно, что тангенс угла при основании равен отношению противолежащего катета (высоты) к прилежащему катету (половине основания). Таким образом, tg(угол BAC) = h / (a/2), где h - высота треугольника из вершины A.

Мы знаем, что tg(угол BAC) = t, поэтому получаем уравнение:

t = h / (a/2)

Теперь нам нужно выразить длину медианы AM через известные величины. Мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AMB:

AM^2 = AB^2 - BM^2 AM^2 = a^2 - (a/2)^2 AM^2 = a^2 - a^2/4 AM^2 = 3a^2/4 AM = √(3a^2/4) AM = √(3a^2) / √4 AM = (a√3) / 2

Теперь мы знаем, что длина медианы AM равна (a√3) / 2.

Наконец, чтобы найти h (высоту из вершины A), мы можем переписать уравнение для тангенса угла BAC:

t = h / (a/2)

h = t * (a/2)

Теперь у нас есть выражение для высоты h через известные величины:

h = t * (a/2)

Используя значение медианы AM, равное (a√3) / 2, и выражение для h, мы можем вычислить значение тангенса угла BAC. Подставим значение h в уравнение для тангенса:

t = h / (a/2) t = ((a√3) / 2) / (a/2) t = (a√3) / 2 * 2/a t = √3

Таким образом, значение тангенса угла BAC равно √3.