Question

в треугольнике ABC точка K — середина отрезка AB. Точка L принадлежит АС, причем AL=4 LC=6. отрезки CK BLпересекаются в точке N найдите KN:NC

Answer 1

По теореме Менелая

AL/LC *CN/NK *KB/BA =1

4/6 *CN/NK *1/2 =1 <=> NK/CN =1/3

Докажем. Пусть KT||AC.

KBT~ABL, KB/AB=KT/AL

KNT~CNL, KN/CN=KT/CL

Приравняем по KT

KB/AB *AL =KN/CN *CL <=>  KB/AB *AL/CL *CN/KN =1

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами серединных перпендикуляров в треугольниках.

Так как точка K является серединой отрезка AB, то отрезок AK равен отрезку KB. Пусть KN = x (мы хотим найти его), тогда NC = 2x, так как N также является серединой отрезка BC.

Поскольку AL = 4 и LC = 6, то AC = AL + LC = 4 + 6 = 10.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. По теореме подобных треугольников мы можем записать отношения длин соответствующих сторон:

KN/NC = AK/BC

Так как AK = KB, то AK = AB/2. Аналогично, BC = AC - AB = 10 - AB.

Теперь у нас есть:

KN/NC = AB/2 / (10 - AB)

Теперь заметим, что AB + BC = AC. Подставим значения:

AB + (10 - AB) = 10

AB - AB + 10 = 10

10 = 10

Это уравнение верно для любого значения AB, так как уравнение сводится к тождеству. Это означает, что длина стороны AB может быть любой, при условии, что она меньше длины AC (так как мы работаем с треугольником).

Поэтому KN/NC = AB/2 / (10 - AB) = x / (10 - x), где x - это длина стороны AB.

Таким образом, отношение KN:NC не зависит от конкретного значения длины стороны AB и равно x / (10 - x).