Question

На сторонах АС и Вс треугольника АВС отменен точки Е и м соответственно так, что AE:EC=2:3BM: MC= 3:1. В каком отношении отрезок ВЕДелится отрезком Ам?​

Answer 1

Ответ:

ВР/РЕ = 15/2.

Объяснение:

По теореме Менелая в треугольнике СВЕ:

(СМ/МВ)*(ВР/РЕ)*(ЕА/АС) = 1.  =>

Подставим известные значения:

(1/3)*(ВР/РЕ)*(2/5) = 1. =>

ВР/РЕ = 15/2. Это ответ.

А если теоремы не знаете, докажем ее.

Проведем ЕН параллельно ВС.

ΔСМА∼ΔЕНА по двум углам (угол CАМ — общий, а ∠НЕА=∠ВСА как соответственные при параллельных прямых СВ и ЕН и секущей СЕ). Следовательно:

СM/ЕН=АM/АН=АС/АЕ  =>

ЕН=СM⋅АЕ/AС. (1)

ΔBMP∼ΔHPE по двум углам (∠BPM=∠HPE как вертикальные, а ∠PEH=∠PBM как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и HE и секущей BE).  

Следовательно:

BM/EH=MP/HP=BP/PE  =>

EH=BM⋅PE/BP. (2)

Приравняем (1) и (2) и разделим обе части на левую:

СM⋅АЕ/AС = BM⋅PE/BP  =>  (СM⋅АЕ⋅BP)/(AC⋅BM⋅PE) = 1 или

(СM/МВ)⋅(ВР⋅PЕ)/(ЕA⋅АС) = 1.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте обозначим отрезок ВЕ как x, а отрезок АМ как y. Мы знаем, что AE:EC=2:3 и BM:MC=3:1.

Из отношения AE:EC=2:3, можно сказать, что AE = (2/5) * AC и EC = (3/5) * AC.

Аналогично, из отношения BM:MC=3:1, получим BM = (3/4) * BC и MC = (1/4) * BC.

Теперь рассмотрим треугольник АВС. Посмотрим на отношение отрезков VE и AM:

VE = VA + AE AM = AC - MC

Теперь заменим AE и MC на соответствующие выражения:

VE = VA + (2/5) * AC AM = AC - (1/4) * BC

Поскольку VA = VC (так как точка ВЕ делит сторону ВС пополам), заменим VA на VC:

VE = VC + (2/5) * AC AM = AC - (1/4) * BC

Теперь выразим AC через BC, используя те же отношения:

AC = AE + EC = (2/5) * AC + (3/5) * AC AC = (2/5 + 3/5) * AC AC = AC

Теперь выразим VC через BC:

VC = (1/3) * BC

Теперь подставим обратно в выражение для VE и AM:

VE = (1/3) * BC + (2/5) * AC AM = AC - (1/4) * BC

Мы знаем, что AC = BC, поэтому:

VE = (1/3) * BC + (2/5) * BC AM = BC - (1/4) * BC

Вынесем общий множитель:

VE = BC * (1/3 + 2/5) AM = BC * (1 - 1/4)

Теперь вычислим числовые значения:

VE = BC * (5/15 + 6/15) = BC * (11/15) AM = BC * (3/4)

Таким образом, отрезок ВЕ делится отрезком АМ в отношении 11:15.