Question

Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу

Answer 1

Пусть $a,b$ - катеты прямоугольного треугольника, $c$ - его гипотенуза, $h-$ высота треугольника, проведенная к гипотенузе.

Площадь прямоугольного треугольника равна $\dfrac{ab}{2}$, с другой стороны она равна $\dfrac{ch}{2}$. Приравнивая площади, выразим высоту.

$\dfrac{ab}{2}=\dfrac{ch}{2}\\ \\ ab=ch\\ \\ \boxed{h=\dfrac{ab}{c}}$

Что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства этого факта воспользуемся геометрической интерпретацией и применим подобие треугольников.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, а CD - высота, опущенная на гипотенузу из вершины C.

По определению прямоугольного треугольника, у него выполняется теорема Пифагора: AC^2 + BC^2 = AB^2 (1)

Также, по определению высоты, треугольники ADC и BDC подобны треугольнику ABC.

Из подобия треугольников имеем следующие соотношения: AD/AC = CD/BC (2) CD/BC = BD/AB (3)

Из уравнений (2) и (3) можно выразить CD через AD: CD = AC * AD / BC (4)

Подставим выражение для CD из (4) в уравнение (1): AC^2 + BC^2 = AB^2 AC^2 + (AC * AD / BC)^2 = AB^2 AC^2 + AC^2 * AD^2 / BC^2 = AB^2 AC^2 * (1 + AD^2 / BC^2) = AB^2 AC^2 * BC^2 / BC^2 + AC^2 * AD^2 / BC^2 = AB^2 AC^2 * (BC^2 + AD^2) / BC^2 = AB^2 AC^2 = AB^2 * BC^2 / (BC^2 + AD^2)

Заметим, что BC^2 / (BC^2 + AD^2) является долей гипотенузы AB, которую занимает высота CD. Таким образом, обозначим эту долю как k: k = BC^2 / (BC^2 + AD^2)

Подставим значение k в предыдущее уравнение: AC^2 = AB^2 * k

Возведем обе части уравнения в квадрат: AC^4 = AB^4 * k^2

Также заметим, что k = BC^2 / (BC^2 + AD^2) = BC^2 / AB^2 (по теореме Пифагора)

Подставим это значение в предыдущее уравнение: AC^4 = AB^4 * (BC^2 / AB^2)^2 AC^4 = AB^4 * (BC^2)^2 / (AB^2)^2 AC^4 = AB^4 * (BC^2)^2 / AB^4 AC^4 = (BC^2)^2 AC^2 = BC^2

Полученное равенство означает, что квадрат длины катета AC равен квадрату длины катета BC.

Таким образом, длина катета AC равна длине катета BC.

Из этого следует, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.

Таким образом, факт доказан.