Question

60 баллов! В треугольнике ACB (C=90°) CE перпендикулярно AB, CD - медиана. CB=4, ED = корень из 3. Найти углы треугольника.

Answer 1

BD =x, BE=x+√3

△ABC~△CBE (прямоугольные, B - общий)

AB/CB =CB/BE

2x/4 =4/(x+√3) <=> x^2 +√3*x -8 =0 <=> x=(√35-√3)/2 (x>0)

Медиана из прямого угла равна половине гипотенузы.

CD=BD

cos(CDE) =ED/CD =2√3/(√35-√3) =(√105 +3)/16  ~ 0,8279

CDE =arccos(0,8279) ~ 34,11°

△CDB - равнобедренный, CDE - внешний угол △CDB

B=CDE/2 =17,05°

A=90-17,05 =72,95°

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами треугольника.

Из условия задачи мы знаем, что треугольник ACB прямоугольный, а CD является медианой.

Используя свойство медианы, мы можем найти значение стороны AB. Так как CD является медианой, то она делит сторону AB пополам. Значит, AB = 2 * CD = 2 * √3 = 2√3.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длины сторон AC и BC.

AC^2 + BC^2 = AB^2

AC^2 + BC^2 = (2√3)^2 AC^2 + BC^2 = 12

Так как угол C равен 90°, то мы можем записать соотношение между сторонами треугольника ACB:

AC^2 + BC^2 = AB^2

AC^2 + BC^2 = 12

AC^2 + (AC/2)^2 = 12

Упростим это уравнение:

AC^2 + AC^2/4 = 12 (5/4)AC^2 = 12 AC^2 = (4/5) * 12 AC^2 = 48/5 AC = √(48/5) AC = 4√(3/5)

Теперь, зная сторону AC, мы можем найти сторону BC:

BC = AB - AC BC = 2√3 - 4√(3/5) BC = 2√3 - (4/√5)√3 BC = √3(2 - 4/√5) BC = √3(2√5 - 4)/√5 BC = (2√15 - 4√3)/√5

Таким образом, мы нашли значения сторон треугольника ACB: AB = 2√3, AC = 4√(3/5), BC = (2√15 - 4√3)/√5.

Чтобы найти углы треугольника, мы можем использовать тригонометрические соотношения. В частности, мы можем использовать соотношение тангенса для нахождения углов:

tg(угол) = противолежащая сторона / прилежащая сторона.

Угол A:

tg(A) = AC / BC tg(A) = (4√(3/5)) / ((2√15 - 4√3)/√5)

Угол B:

tg(B) = BC / AC tg(B) = ((2√15 - 4√3)/√5) / (4√(3/5))

Теперь мы можем использовать обратные тригонометрические функции, чтобы найти значения углов A и B:

A = atan(tg(A)) B = atan(tg(B))

Вычисляя значения этих углов, мы найдем искомые углы треугольника ACB.