Question

1)Основание перпендикуляра, опущенного из вершины прямоугольника на его диагональ, делит ее в отношении 3:1. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до большей стороны, если диагональ равна 8 см. (М. № 52) 2)Смежные углы между диагоналями прямоугольника соотносятся как 1:2. Найдите диагональ, если расстояние от точки пересечения диагоналей до большей стороны прямоугольника равно 5 см. СРОЧНО!!!! ДАЮ 35 БАЛЛОВ ПРОШУ ПОЛНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ С ЧЕРТЕЖОМ ЗАРАНЕЕ СПАСИБО ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС

Answer 1

Объяснение:

  1)Обозначим данный прямоугольник АВСD. Отрезок ВК⊥АС. АК:КС=3:1. О - точка пересечения диагоналей. (см. рисунок приложения),

  Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. . АС=ВD=8, ВО=ОС=АО=ОD=4.

 Диагональ АС содержит 3+1=4 части, тогда СК=1 часть=8:4=2 см,⇒ КО=4-2=2 см. ВК - высота треугольника ВОС (перпендикулярна отрезку СО)  и делит его пополам. Следовательно, является его медианой, поэтому ∆ ВСО равнобедренный.  ВС=ВО. Но ВО=СО ⇒ ∆ СВО - правильный,  В ∆ ВОМ угол ОВМ=∠СВМ-СВО=90°-60°=30° Катет ОМ противолежит углу 30° и равен половине гипотенузы ВО. ⇒ ОМ=АЕ=2 см.  

———————

2) Расстояние от точки до прямой равно длине проведенного к ней перпендикуляра. В прямоугольнике АВСD это отрезок ОМ.

Угол ВOD - развернутый и равен 180°. Сумма смежных углов ВОА и АОD  равна 1+2=3 части. ⇒ угол ВОА=1 часть=180°:3=60°.  По свойству диагоналей прямоугольника ВО=АО, поэтому углы при основании АВ равнобедренного ∆ ВОА равны (180°-60*):2=60°, из чего следует: в  прямоугольном ∆ ВОМ угол ОВМ=угол АВМ-угол АВО=90°-60°=30°.  Гипотенуза ВО в два раза больше катета, противолежащего углу 30° ⇒ ВО=10 см. ВО = половина диагонали. Диагональ ВD=2•10=20 см.

Answer 2

1. Первая задача:

Пусть ABCD - прямоугольник, где AB - большая сторона, BC - меньшая сторона, AC - диагональ, и M - точка пересечения диагоналей.

По условию, основание перпендикуляра, опущенного из вершины прямоугольника на его диагональ, делит ее в отношении 3:1. Это означает, что AM = 3x и MC = x, где x - некоторая константа.

Также дано, что AC = 8 см.

Чтобы найти расстояние от точки пересечения диагоналей до большей стороны, нам нужно найти длину отрезка BM.

По теореме Пифагора в прямоугольнике ABCD: AB^2 + BC^2 = AC^2

AB^2 + (AM + MC)^2 = AC^2

AB^2 + (3x + x)^2 = 8^2

AB^2 + 16x^2 = 64

AB^2 = 64 - 16x^2

Также, по теореме Пифагора в треугольнике ABM: AB^2 = AM^2 + BM^2

Подставим AM = 3x и заменим AB^2 на 64 - 16x^2:

64 - 16x^2 = (3x)^2 + BM^2

64 - 16x^2 = 9x^2 + BM^2

BM^2 = 64 - 16x^2 - 9x^2

BM^2 = 64 - 25x^2

BM = √(64 - 25x^2)

Таким образом, расстояние от точки пересечения диагоналей до большей стороны равно √(64 - 25x^2) см.

2. Вторая задача:

Пусть ABCD - прямоугольник, где AB - большая сторона, BC - меньшая сторона, AC - первая диагональ, BD - вторая диагональ, и M - точка пересечения диагоналей.

По условию, смежные углы между диагоналями прямоугольника соотносятся как 1:2. Это означает, что угол AMB в два раза больше угла CMD.

Также дано, что расстояние от точки пересечения диагоналей до большей стороны прямоугольника равно 5 см.

Пусть угол CMD равен x градусов. Тогда угол AMB равен 2x градусов.

Рассмотрим треугольник AMB. Он является прямоугольным, так как диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом.

Мы знаем, что длина отрезка BM равна 5 см.

По теореме синусов в треугольнике AMB:

sin(2x) = BM / AB

sin(2x) = 5 / AB

AB = 5 / sin(2x)

Также, по теореме Пифагора в прямоугольнике ABCD: AB^2 + BC^2 = AC^2

AB^2 + BC^2 = BD^2

(5 / sin(2x))^2 + BC^2 = BD^2

25 / sin^2(2x) + BC^2 = BD^2

BC^2 = BD^2 - 25 / sin^2(2x)

BC = √(BD^2 - 25 / sin^2(2x))

Таким образом, длина диагонали BD равна √(BC^2 + 25 / sin^2(2x)).