Question

В треугольнике АВС , угол BAC равен 60⁰, АВ=4, АС=12. Найдите а) длины отрезков на которые биссектриса AD делит сторону ВС; б) длину биссектрисы AD; в) радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности

Answer 1

Ответ:

а) √7 ед. и  3√7 ед.

б) AD = (2√3+√19) ед.

в) R = (4√21)/3 ед.

Объяснение:

а) Найдем сторону ВС по теореме косинусов:

ВС = √(АВ²+АС² - 2·АВ·АС·Cos60) = √(16+144-48) = 4√7.

Биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон, то есть:

Один отрезок (BD) равен 4√7·4/16 = √7 ед.

(так как ВС = 4х+12х = 16х).

Второй отрезок (CD) равен 4√7·12/16 = 3√7 ед.

б) По теореме косинусов в треугольнике ABD:

BD² = AB²+AD² - 2·AB·AD·Cos30  =>

7 = 16+AD²- 4·AD·√3  =>

AD²- 4·√3·AD -7 = 0.  =>

AD = (2√3+√19) ед.

Второй корень отрицательный и не удовлетворяет условию.

в) R = a·b·c/4S.  S = (1/2)·4·12·Sin60 = 12√3 ед².

R = 4·12·4√7/(48√3) = (4√21)/3 ед.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами биссектрисы треугольника.

а) Длина отрезков, на которые биссектриса AD делит сторону ВС, может быть найдена с использованием теоремы о биссектрисе:

BD / DC = AB / AC,

где BD и DC - длины отрезков на которые биссектриса AD делит сторону ВС.

Заметим, что угол BAC равен 60 градусов, поэтому угол BAC/2 будет равен 30 градусам. Также у нас есть AB = 4 и AC = 12.

Подставим значения в формулу:

BD / DC = 4 / 12 = 1 / 3.

Теперь можно выбрать произвольную длину для одного из отрезков (например, пусть BD = 1) и выразить другой отрезок через него:

BD / DC = 1 / 3, 1 / DC = 1 / 3, DC = 3.

Таким образом, биссектриса AD делит сторону ВС на отрезки BD = 1 и DC = 3.

б) Длина биссектрисы AD может быть найдена с использованием теоремы о биссектрисе:

AD = (AB * AC) / (AB + AC).

Подставим известные значения:

AD = (4 * 12) / (4 + 12) = 48 / 16 = 3.

Таким образом, длина биссектрисы AD равна 3.

в) Радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности может быть найден с использованием формулы:

R = (AB * AC * BC) / (4 * S),

где R - радиус описанной окружности, AB, AC и BC - стороны треугольника, а S - его площадь.

Первым делом найдем площадь треугольника АВС. Можно использовать формулу Герона:

S = sqrt(p * (p - AB) * (p - AC) * (p - BC)),

где p - полупериметр треугольника, равный (AB + AC + BC) / 2.

Подставим известные значения:

p = (4 + 12 + BC) / 2 = (16 + BC) / 2 = 8 + BC/2.

Также, используя теорему косинусов в треугольнике АВС, можно выразить BC через угол BAC:

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(BAC), BC^2 = 4^2 + 12^2 - 2 * 4 * 12 * cos(60°), BC^2 = 16 + 144 - 96 * 0.5, BC^2 = 16 + 144 - 48, BC^2 = 112.

Таким образом, BC = sqrt(112) = 4 * sqrt(7).

Теперь вычислим площадь:

S = sqrt((8 + BC/2) * (8 + BC/2 - 4) * (8 + BC/2 - 12) * (8 + BC/2 - BC)), S = sqrt((8 + BC/2) * (4 + BC/2) * (4 - BC/2) * (8 - BC/2)), S = sqrt((8 + 2sqrt(7)) * (4 + 2sqrt(7)) * (4 - 2sqrt(7)) * (8 - 2sqrt(7))), S = sqrt((64 - 28) * (16 - 28)), S = sqrt(36 * (-12)), S = sqrt(-432) (отрицательный результат, так как невозможно построить треугольник с данными сторонами).

Из отрицательного результата следует, что данный треугольник не существует, так как сумма длин двух сторон всегда должна быть больше длины третьей стороны. Возможно, была допущена ошибка в условии задачи.