Question

Точка К делит сторону ВС треугольника АВС в отношении ВК : КС = 2 : 3. Точка М делит отрезок АК в отношении АМ : МК = 3 : 1. Прямая ВМ пересекает сторону АС в точке Т. Найдите величину отношения АТ : ТС.

Answer 1

Ответ:

6 : 5

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать подобие треугольников. Обозначим длину стороны BC как x.

Так как точка К делит сторону ВС в отношении ВК : КС = 2 : 3, то длины отрезков ВК и КС будут соответственно равны 2x/5 и 3x/5.

Также, точка М делит отрезок АК в отношении АМ : МК = 3 : 1. Заметим, что АМ + МК = АК, поэтому 3x/4 + x/4 = x. Решив это уравнение, получим x = 4.

Теперь мы можем найти длины отрезков ВК и КС: ВК = 2x/5 = 2 * 4/5 = 8/5 и КС = 3x/5 = 3 * 4/5 = 12/5.

Прямая ВМ пересекает сторону АС в точке Т. Обозначим длину отрезка АТ как a и отрезка ТС как b. Тогда отношение АТ : ТС = a : b.

Используя подобие треугольников АВМ и АСК, мы можем записать следующие соотношения:

AV / AC = AM / AK (по определению подобия треугольников) AB + BV / AC = AM / AK (так как AV = AB + BV) AB + BV = AM * AC / AK (перемножим оба выражения на AK и переставим члены) BV = AM * AC / AK - AB (выразим BV)

BV = (3x/4) * (5x/4) / (4x/5) - 2x/5 (подставим значения длин) = (3 * 5/4 * 5/4) / (4/5) - 2/5 = 75/16 * 5/4 * 5/4 * 5/4 - 2/5 = 1875/256 - 2/5 = (1875 * 5 - 2 * 256) / (256 * 5) = (9375 - 512) / 1280 = 8863 / 1280

Из подобия треугольников АТС и АBV, мы можем записать следующее соотношение:

AT / AB = TC / BV (по определению подобия треугольников) a / 4 = b / (8863 / 1280) (подставим значения)

Теперь мы можем найти величину отношения АТ : ТС:

a / 4 = b / (8863 / 1280) a / 4 = b * 1280 / 8863 a = 4b * 1280 / 8863

Отношение АТ : ТС равно a : b, то есть

АТ : ТС = (4b * 1280 / 8863) : b = 4 * 1280 / 8863

Вычислим это значение:

АТ : ТС = 4 * 1280 / 8863 = 5120 / 8863

Поэтому величина отношения АТ : ТС равна 5120 : 8863.