Question

Даны вершины треугольника АВС;А(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3). Найти: а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты СН; в уравнение медианы АМ; г) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; расстояние от точки С до прямой АВ. А(10,-2), В(4,-5),С(-3,1).

Answer 1

Ответ: [x-x(A)]/[x(B)-x(A)]=[y-y(A)]/[y(B)-y(A)](*)

[x-(-7)]/[3-(-7)]=[y-(-2)]/[-8-(-2)]; [x+7]/10=[y-6]/(-6); приводим к виду: Ax+By+C=0

6x+10y+62=0

2. Ур-е высоты CH задаём по точке С и нормальному вектору {AB},

координаты вектора {AB}: [x(B)-x(A); y(B)-y(A)]=(10;-6)

x({AB})*[x-x(C)]+y({AB})*[y-y(C)]=0, где x({AB}) и y({AB}) - координаты вектора {AB};

10[x-(-4)]-6[y-6]=0; 10x+40-6y+36=0

Итак, ур-е CH: 10x-6y+76=0

3. Ур-е медианы AM. т. М – середина отрезка BC (из определения медианы), её координаты: x(М)=[x(B)+x(С)]/2; y(М)=[y(B)+y(С)]/2

x(М)=[3-4]/2=-0,.5 y(М)=[-8+6]/2=-1

Ур-е медианы AM задаём по двум точкам A и M:

Подставляем в (*) вместо x(B) и y(B) x(М) и y(М) :

[x+7]/[-0,5+7]=[y+2]/[-1+2];

Ур-е медианы AM: x-6,5y-6=0

4. Чтобы найти т. необходимо решить систему уравнений двух прямых AM и CH:

x-6,5y-6=0 x=6,5y+6 x=6,5y+6 x=6,5*(-136/59)+6

10x-6y+76=0 10(6,5y+6)-6y+76=0 65y+60-6y+76=0 y=-136/59

N(-8,98;-2,31)

5. . Ур-е прямой проходящей через вершину С и параллельно AB, т. е. задаём по точке С и

параллельному вектору {AB} [x-x(С)]/x({AB})=[y-y(С)]/y({AB}) ,

[x-(-4)]/10=[y-6]/(-6)

Ур-е прямой проходящей через вершину С и параллельно AB: -6x-10y+36=0

6. Расстояние от вершины С до прямой AB:

d=│A*x(C)+By(C)+C│/ √(A^2+B^2), где A и B-коеффициенты уравнения прямой AB при х и у соотвестно, С- свободный член уравнения прямой AB.

d=│6•(-4)+10•6+62│/ √(6^2+10^2)=8,4 (см)

А вот так правильно?

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся различными формулами и методами аналитической геометрии.

а) Уравнение стороны АВ:

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки, воспользуемся формулой наклона и точки:

Наклон (slope) прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), равен: m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Теперь используем формулу точечного уравнения прямой, чтобы найти уравнение стороны АВ:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1) m = (-5 - (-2)) / (4 - 10) m = (-5 + 2) / (4 - 10) m = -3 / -6 m = 1/2

Теперь, когда у нас есть наклон (slope) стороны АВ и одна из точек (например, точка A), мы можем использовать формулу точечного уравнения прямой: y - y1 = m(x - x1).

Для стороны АВ у нас есть точка A(10, -2) и наклон m = 1/2:

y - (-2) = 1/2(x - 10)

Преобразуем уравнение:

y + 2 = 1/2x - 5

б) Уравнение высоты СН:

Высота СН перпендикулярна стороне АВ и проходит через вершину С. Значит, наклон этой высоты будет отрицательно обратным к наклону стороны АВ.

Наклон высоты СН = -1/м, где м - наклон стороны АВ.

Наклон стороны АВ (мы уже нашли в предыдущем ответе) m = 1/2, значит, наклон высоты СН = -1/(1/2) = -2.

Теперь, когда у нас есть наклон высоты СН и точка C(-3, 1), мы можем использовать формулу точечного уравнения прямой:

y - y1 = m(x - x1)

Для высоты СН у нас есть точка C(-3, 1) и наклон m = -2:

y - 1 = -2(x - (-3))

Преобразуем уравнение:

y - 1 = -2(x + 3)

в) Уравнение медианы АМ:

Медиана АМ - это отрезок, который соединяет вершину A с серединой стороны ВС. Чтобы найти уравнение медианы АМ, нам нужно найти координаты середины стороны ВС.

Середина стороны ВС будет иметь координаты: ((x2 + x3)/2, (y2 + y3)/2)

((4 + (-3))/2, (-5 + 1)/2) (1/2, -2)

Теперь, у нас есть две точки: A(10, -2) и середина стороны ВС (1/2, -2). Мы можем использовать формулу точечного уравнения прямой, чтобы найти уравнение медианы АМ:

y - y1 = m(x - x1)

где m - наклон медианы АМ, который можно найти как отношение изменения y к изменению x между вершиной A и серединой стороны ВС.

m = (y2 - y1) / (x2 - x1) m = (-2 - (-2)) / ((1/2) - 10) m = 0 / (-9.5) m = 0

Так как наклон медианы АМ равен 0, уравнение медианы будет иметь вид:

y - (-2) = 0(x - 10) y + 2 = 0

Уравнение медианы АМ: y = -2

г) Точка N пересечения медианы АМ и высоты СН:

Для того чтобы найти точку пересечения медианы АМ и высоты СН, нужно решить систему уравнений медианы АМ и высоты СН:

1. Уравнение медианы АМ: y = -2
2. Уравнение высоты СН: y - 1 = -2(x + 3)

Подставим уравнение медианы в уравнение высоты:

-2 - 1 = -2(x + 3)

-3 = -2x - 6

2x = -6 + 3 2x = -3 x = -3/2

Теперь, подставим значение x в уравнение медианы:

y = -2

Таким образом, точка N пересечения медианы АМ и высоты СН: N(-3/2, -2)

д) Уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ:

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через вершину С(-3, 1) параллельно стороне АВ, мы используем тот же наклон, что у стороны АВ, то есть m = 1/2.

Теперь, у нас есть точка C(-3, 1) и наклон m = 1/2:

y - y1 = m(x - x1)