Question

Отличники, помогите! Треугольник АВС задан координатами его вершин А (6; 5), В(4;7), С(8;5). Найдите внешний угол при вершине А.

Answer 1

$A(6,5)\; ,\; \; B(4,7)\; ,\; \; C(8,5)\\\\\overline {AB}=(-2,-2)\; \; ,\; \; \overline {AC}=(2,0)\\\\cos\angle ( \overline {AB}, \overline {AC})=\frac{\overline {AB}\cdot \overline {AC}}{| \overline {AB}\cdot | \overline {AC}|}=\frac{-4+0}{\sqrt{2^2+2^2}\cdot \sqrt{2^2+0^2}}=\frac{-4}{\sqrt{8}\cdot 2}=-\frac{4}{2\sqrt2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt2}{2}\\\\\angle ( \overline {AB}, \overline {AC})=135^\circ$

Внутренний угол треугольника при вершине А равен 135°, а внешний угол равен  180°-135°=45° .

Answer 2

Чтобы найти внешний угол при вершине А в треугольнике ABC, нам нужно найти две стороны этого треугольника, исходящие из вершины А.

Для этого вычислим длины сторон AB и AC. Длина стороны между двумя точками может быть найдена по формуле расстояния между точками в двумерном пространстве:

Длина AB: AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((4 - 6)² + (7 - 5)²) = √((-2)² + 2²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2

Длина AC: AC = √((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²) = √((8 - 6)² + (5 - 5)²) = √(2² + 0²) = √4 = 2

Теперь, чтобы найти внешний угол при вершине А, мы можем использовать закон косинусов:

cos(∠A) = (b² + c² - a²) / (2bc)

Где: a = BC = AB = 2√2 b = AC = 2 c = AB = 2√2

cos(∠A) = (2² + 2² - (2√2)²) / (2 * 2 * 2√2) = (4 + 4 - 8) / (8√2) = 0 / (8√2) = 0

Угол А - прямой угол (90 градусов).