Question

Найти расстояние от центра окружности x^2+y^2+4y=0 до прямой y=-2x+8 Помогите пожалуйста

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для того чтобы найти расстояние от центра окружности до прямой, нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите центр окружности. Шаг 2: Найдите уравнение перпендикуляра к данной прямой, проходящего через центр окружности. Шаг 3: Найдите точку пересечения прямой и перпендикуляра. Шаг 4: Вычислите расстояние между центром окружности и точкой пересечения.

Давайте начнем.

Шаг 1: Найдем центр окружности.

Уравнение окружности дано в виде: x^2 + y^2 + 4y = 0

Для начала приведем уравнение окружности к стандартной форме (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус.

Выполним квадратное дополнение для y:

x^2 + y^2 + 4y = 0 x^2 + (y^2 + 4y + 4) = 4 x^2 + (y + 2)^2 = 4

Теперь у нас уравнение окружности в стандартной форме:

(x - 0)^2 + (y + 2)^2 = 2^2

Таким образом, центр окружности имеет координаты (h, k) = (0, -2).

Шаг 2: Найдем уравнение перпендикуляра к прямой y = -2x + 8, проходящего через центр окружности.

Так как прямая y = -2x + 8 имеет угловой коэффициент -2, перпендикуляр к ней будет иметь угловой коэффициент, обратный и противоположного знака, то есть 1/2.

Уравнение перпендикуляра имеет вид: y = (1/2)x + b.

Шаг 3: Найдем b, зная, что перпендикуляр проходит через центр окружности (0, -2).

Подставим координаты центра окружности в уравнение перпендикуляра:

-2 = (1/2)*0 + b -2 = b

Таким образом, уравнение перпендикуляра имеет вид: y = (1/2)x - 2.

Шаг 4: Найдем точку пересечения прямой y = -2x + 8 и перпендикуляра y = (1/2)x - 2.

Для этого приравняем уравнения:

-2x + 8 = (1/2)x - 2

Теперь решим уравнение для x:

-2x - (1/2)x = -2 - 8 -5/2 x = -10

x = -10 * 2 / (-5) = 4

Теперь найдем y, используя уравнение перпендикуляра:

y = (1/2) * 4 - 2 = 2 - 2 = 0

Точка пересечения прямой и перпендикуляра имеет координаты (4, 0).

Шаг 5: Вычислим расстояние между центром окружности (0, -2) и точкой пересечения (4, 0).

Расстояние между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) вычисляется по формуле: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

d = √((4 - 0)^2 + (0 - (-2))^2) = √(4^2 + 2^2) = √(16 + 4) = √20 ≈ 4.47.

Таким образом, расстояние от центра окружности до прямой y = -2x + 8 составляет примерно 4.47 единицы.