Question

Составьте уравнение образа окружности x²+y²-10x+12y=0 при повороте на 270° против часовой стрелки относительно начала координат.

Answer 1

Ответ: x²+y²+12x+10y=0

Объяснение:

нужно понять в какую точку перейдет центр окружности при таком повороте)

выделим полные квадраты...

x²-10х +25-25 +y²+12y +36-36=0

(x-5)² + (y+6)² = 25+36

координаты центра данной окружности (5; -6); при повороте радиус окружности не изменится (r²=61), а центр переместится в точку с координатами (-6; -5)

осталось составить уравнение новой окружности:

(x+6)² + (y+5)² = 61

x²+12х+36 +y²+10y+25-61=0

x²+12х+y²+10y=0

Answer 2

Для поворота окружности на 270° против часовой стрелки относительно начала координат, мы можем использовать следующие преобразования координат:

x' = x * cos(θ) - y * sin(θ) y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)

Где θ - угол поворота (в радианах). В данном случае, θ = 270° = 3π/2.

Подставим уравнение окружности x² + y² - 10x + 12y = 0 в эти преобразования координат:

(x * cos(3π/2) - y * sin(3π/2))² + (x * sin(3π/2) + y * cos(3π/2))² - 10(x * cos(3π/2) - y * sin(3π/2)) + 12(x * sin(3π/2) + y * cos(3π/2)) = 0

Упростим выражение, зная что cos(3π/2) = 0 и sin(3π/2) = -1:

(-x - y)² + (x * (-1) + y * 0)² - 10(-x - y) + 12(x * 0 + y * (-1)) = 0

(x + y)² + 10(x + y) + 12y = 0

Это будет уравнение окружности после поворота на 270° против часовой стрелки относительно начала координат.