Question

Составить каноническое уравнение параболы, если ее фокус находится в точке пересечения прямой 4x-3y-4=0 с осью Ox.

Answer 1

Каноническое уравнение параболы имеет вид y² = 2px.

Если её фокус находится в точке пересечения прямой 4x-3y-4=0 с осью Ox, то в этой точке у = 0.

4x-3*0-4=0,

х = 4/4 = 1.

В задании не сказано, но будем считать, что вершина параболы находится в начале координат.

Фокус имеет координаты F((p/2); 0).

1 = р/2.

Отсюда фокальный параметр р = 1*2 = 2.

Ответ: y² = 2*2x.

Answer 2

Чтобы составить каноническое уравнение параболы, нам нужно найти его форму вида:

y = a(x - h)^2 + k,

где (h, k) - координаты вершины параболы, а параметр "a" определяет направление и открытость параболы.

Для начала, найдем координаты фокуса параболы. Фокус параболы находится на пересечении прямой и оси Ox, значит, y-координата фокуса равна 0, а x-координата равна х координате точки пересечения прямой с осью Ox.

Найдем х-координату точки пересечения прямой с осью Ox:

4x - 3y - 4 = 0,

При y = 0:

4x - 3(0) - 4 = 0,

4x - 4 = 0,

4x = 4,

x = 1.

Таким образом, координаты фокуса параболы: F(1, 0).

Теперь найдем вершину параболы, которая также является серединой отрезка между фокусом и точкой пересечения параболы с осью x.

Координаты вершины V(h, k) можно найти по следующим формулам:

h = x_фокуса, k = (y_фокуса + y_точки_пересечения) / 2.

Мы уже нашли x_фокуса = 1. Теперь найдем y_точки_пересечения:

4x - 3y - 4 = 0,

При x = 1:

4(1) - 3y - 4 = 0,

4 - 3y - 4 = 0,

-3y = 0,

y = 0.

Теперь находим y_фокуса + y_точки_пересечения:

y_фокуса + y_точки_пересечения = 0 + 0 = 0.

Итак, k = (0) / 2 = 0.

Таким образом, координаты вершины V(1, 0).

Теперь определим параметр "a", который определяет направление и открытость параболы. Парабола смотрит вверх, поэтому "a" должно быть положительным.

Теперь у нас есть все необходимые значения для составления канонического уравнения параболы:

Фокус F(1, 0) Вершина V(1, 0) Параметр "a" (направление и открытость параболы)

Теперь можем записать каноническое уравнение параболы:

y = a(x - h)^2 + k,

где h = 1, k = 0.

Таким образом, каноническое уравнение параболы с фокусом в точке пересечения прямой 4x - 3y - 4 = 0 с осью Ox:

y = a(x - 1)^2.