Question

в правильной треугольной призме ABCA1B1C1 AB=2, а AA1=4. точка M – середина ребра CC1, K– середина B1A1, P – середина A1C1. Найдите расстояния от точки A до прямых BM, CK и B1P

Answer 1

Пусть А - начало координат

Ось X - AC

Ось Y - перпендикулярно X в сторону В

Ось Z -:AA1

Координаты точек

В(1;√3;0)

М(2;0;2)

С(2;0;0)

К(0,5;√3/2;4)

В1(1;√3;4)

Р(1;0;4)

Вектора

ВМ(1;-√3;2)

|BM|=√(1+3+4)=2√2

АВ(1;√3;0)

СК(-1,5;√3/2;4)

|СК|=√(9/4+3/4+16)=√19

АС(2;0;0)

В1Р(0;-√3;0)

|В1Р|=√3

АВ1(1;√3;4)

| А; ВМ | = | АВxBM | / | BM | =

√(12+4+12)/2√2=√3.5

| A ; CK | = | ACxCK | / | CK | =

√(64+3)/√19= √(67/19)

| A ; B1P | = | AB1xB1P | / |B1P| =

√(48+3)/√3=√17

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами правильной треугольной призмы.

1. Найдем расстояние от точки A до прямой BM: Так как M является серединой ребра CC1, то AM является медианой треугольника ACC1. В правильной треугольной призме медиана делит высоту треугольника на отношение 2:1. Таким образом, расстояние от точки A до прямой BM равно 2/3 от высоты треугольника ABC.

2. Найдем расстояние от точки A до прямой CK: Аналогично, так как K является серединой ребра B1A1, то AK является медианой треугольника AB1A1. Из свойств правильной треугольной призмы следует, что медиана делит высоту треугольника на отношение 2:1. Таким образом, расстояние от точки A до прямой CK равно 2/3 от высоты треугольника ABC.

3. Найдем расстояние от точки A до прямой B1P: Поскольку P является серединой ребра A1C1, то AP является медианой треугольника A1BC1. Из свойств правильной треугольной призмы следует, что медиана делит высоту треугольника на отношение 2:1. Таким образом, расстояние от точки A до прямой B1P равно 2/3 от высоты треугольника ABC.

Итак, расстояния от точки A до прямых BM, CK и B1P равны 2/3 от высоты треугольника ABC.