Question

Дан прямоугольный треугольник АВС (угол С равен 90°) Е є АС, F є АВЕF || CB ЕК - биссектриса ∆AEFЧему равен угол АЕК

Answer 1

Ответ:

Угол АЕF=90°(соответственные углы)

значит угол АЕК=45° и угол КЕF=45°=>

угол=45°

Answer 2

Чтобы найти значение угла АЕК (обозначим его как θ), нам нужно использовать свойства биссектрисы и прямоугольного треугольника.

1. Свойство биссектрисы: Когда биссектриса КЕ пересекает сторону АЕ прямоугольного треугольника АЕФ, она делит эту сторону на два отрезка, и отношение длин этих отрезков равно отношению длин двух других сторон треугольника, исходящих из вершины Е (то есть, отношению длин АК и КФ).

2. Свойство прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике угол между гипотенузой (гипотенуза здесь - сторона АЕ) и катетом (катеты здесь - стороны АК и КФ) равен углу между гипотенузой и биссектрисой.

Обозначим длины сторон треугольника АЕФ следующим образом: AE = a EF = b AF = c

Теперь, зная эти свойства, можем записать:

(AK / KF) = (AE / EF) (AK / KF) = (a / b)

Из прямоугольного треугольника АЕК: cos(θ) = AK / AE cos(θ) = AK / a

Теперь, используем тригонометрическую формулу биссектрисы для треугольника АЕК:

cos(θ) = √((AK * AF) / (AE * AK + KF * AF))

Подставляем известные значения:

cos(θ) = √((AK * c) / (a * AK + KF * c))

Из первого свойства (AK / KF = a / b), заменяем AK на (a * KF / b):

cos(θ) = √(((a * KF / b) * c) / (a * (a * KF / b) + KF * c))

Упростим:

cos(θ) = √((a * KF * c) / (a^2 + KF * b))

Теперь, зная, что EF = b, можем выразить KF через a и b:

KF = AE - AF KF = a - c

Подставляем это значение обратно в предыдущее уравнение:

cos(θ) = √((a * (a - c) * c) / (a^2 + (a - c) * b))

Теперь, имея выражение для cos(θ), можно найти значение угла θ, взяв арккосинус от обеих сторон уравнения:

θ = arccos(cos(θ)) θ = arccos(√((a * (a - c) * c) / (a^2 + (a - c) * b)))

Таким образом, угол АЕК (θ) равен arccos(√((a * (a - c) * c) / (a^2 + (a - c) * b))).