Question

ГЕОМЕТРИЯ!!! 100 баллов 5. Развертка боковой поверхности конуса – сектор с центральным углом 120°. Найдите объем конуса, если периметр его осевого сечения равен 16 см.​

Answer 1

∠φ = 360° * sinα

Используя данный нам ∠φ (угол развертки боковой поверхности, равен 120°) найдем sinα

120° = 360° * sinα

sinα = 1/3

Рассмотрим Δ BDC-осевое сечение конуса

Р (ΔBDC )= 16 см

СА=АD

СА = 2R

Р( ΔBDC0 = 2L + 2R (L-образующая конуса)

16 = 2L + 2R

8 = L + R

L = 8 - R

Перейдем к прямоугольному Δ АВС. ∠ВАС = 90°, АС = R

ВС = 8 - R

sinα = AC/CB = R/(8 - R)

R/(8 - R) = 1/3

3R = 8 - R

4R = 8

R = 2

L=8-2=6

h^2=L^2-R^2=6^2-2^2=36-4=32

h=4√2

V=piR^2*h/3=pi*2^2*4√2/3=16√2/3

Answer 2

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать формулу для объема конуса:

V = (1/3) * π * r^2 * h,

где V - объем конуса, r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Перед тем, как вычислить объем, найдем радиус основания конуса.

Периметр осевого сечения конуса равен 16 см. Периметр осевого сечения представляет собой длину окружности, то есть:

Периметр = 2 * π * r.

Теперь найдем радиус r:

2 * π * r = 16 см.

r = 16 см / (2 * π) ≈ 2.546 см.

Теперь, когда у нас есть радиус основания конуса, нужно найти высоту конуса h. В задаче нам дана развертка боковой поверхности конуса - сектор с центральным углом 120°. Периметр осевого сечения представляет собой длину окружности, которая соответствует дуге сектора боковой поверхности.

Периметр осевого сечения = длина дуги сектора = (центральный угол / 360°) * длина окружности боковой поверхности.

Подставим известные значения:

16 см = (120° / 360°) * длина окружности боковой поверхности.

Теперь найдем длину окружности боковой поверхности:

длина окружности боковой поверхности = (16 см * 360°) / 120° = 48 см.

Длина окружности боковой поверхности равна 48 см.

Теперь найдем высоту конуса h, используя теорему Пифагора в боковом сечении конуса:

h^2 = r^2 + (длина окружности боковой поверхности / (2 * π))^2.

Подставим значения и вычислим:

h^2 = (2.546 см)^2 + (48 см / (2 * π))^2 ≈ 2.546 см^2 + 7.64 см^2 ≈ 10.186 см^2.

h ≈ √10.186 см ≈ 3.189 см.

Теперь, когда у нас есть радиус и высота конуса, можно вычислить его объем:

V = (1/3) * π * (2.546 см)^2 * 3.189 см ≈ 13.5 см^3.

Ответ: объем конуса составляет примерно 13.5 кубических сантиметров.