Question

В прямоугльном треугольнике ABC угол C=90°, угол A=60°. Найдите гипотенузу и маленький катет этого треугольника , если известно что их сумма равна 18.3 см.

Answer 1

Ответ:

Маленький катет - 6.1 см

Гипотенуза - 12.2 см

Объяснение:

1 угол - 60°, значит 2 угол 30°

Катет напротив угла в 30° - половина гипотенузы. Имеем соотношение гипотенуза:катет - 2:1

2+1=3

18.3/3=6.1

Катет = 6.1 * 1 = 6.1 см

гипотенуза = 6.1*2 = 12.2 см

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими соотношениями для прямоугольного треугольника.

Пусть гипотенуза треугольника равна $c$, а меньший катет — $a$.

У нас уже известно, что угол C равен 90°, а угол A равен 60°. Тогда угол B (остальной угол треугольника) равен:

$\angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 60° - 90° = 30°.$

Теперь воспользуемся тригонометрическими функциями для нахождения значений сторон:

1. Для угла 30°: $\sin(30°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}.$

2. Для угла 60°: $\sin(60°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{c}{a}.$

Известно, что $a + c = 18.3$ см. Теперь решим систему уравнений:

$$\begin{cases} \sin(30°) = \frac{a}{c}, \\ \sin(60°) = \frac{c}{a}, \\ a + c = 18.3. \end{cases}$$

Выразим $c$ из первого уравнения: $c = a \cdot \sin(30°) = \frac{1}{2}a.$

Подставим это во второе уравнение: $\sin(60°) = \frac{\frac{1}{2}a}{a} = \frac{1}{2}.$

Теперь найдем значение $a$: $a = \frac{1}{\sin(60°)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}.$

Теперь найдем значение $c$: $c = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$

Таким образом, гипотенуза $c$ равна $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см (приблизительно 0.577 см), а маленький катет $a$ равен $\frac{2}{\sqrt{3}}$ см (приблизительно 1.155 см).