Question

Пожалуйста помогите !!! На сторонах ВС і ВА трикутника АВС позначили відповідно точки D і F так , що DC:BD=8:3 ,а BF:FA=3:5 .У якому відношенні пряма DF ділить медіану BE

Answer 1

В ответе сомневаюсь. Построил в GeoGebra и ответ должен быть 7 : 3, но у меня все равно выходит 13 : 6.

Answer 2

Позначимо точку перетину медіани BE та прямої DF як точку M. Щоб знайти відношення, в якому пряма DF ділить медіану BE, нам потрібно знайти відношення BM:ME.

Застосуємо теорему подібності трикутників. За умовою ми знаємо, що DC:BD = 8:3 і BF:FA = 3:5.

Застосуємо подібні трикутники ADF та ABC: AD/AB = DF/BC AD/(AD + DB) = DF/(DF + FA) AD/(AD + 3/8 * DC) = DF/(DF + 3/5 * BF)

Застосуємо подібні трикутники BDF та ABC: BD/BA = DF/FC (AD + DB)/AB = (DF + FA)/FC (AD + 3/8 * DC)/(AD + DB) = (DF + 3/5 * BF)/(DF + FA)

Зауважимо, що AD + DB = AB та DF + FA = FC, тому можемо спростити вирази:

AD/(AD + 3/8 * DC) = DF/(DF + 3/5 * BF) ...(1) (AD + 3/8 * DC)/(AD + DB) = (DF + 3/5 * BF)/(DF + FA) ...(2)

Тепер використаємо вирази BF:FA = 3:5 і DC:BD = 8:3, підставимо їх у вирази (1) та (2):

AD/(AD + 3/8 * DC) = DF/(DF + 3/5 * BF) AD/(AD + 3/8 * DC) = DF/(DF + 3/5 * (5/3) * DC) AD/(AD + 3/8 * DC) = DF/(DF + 1 * DC)

(AD + 3/8 * DC)/(AD + DB) = (DF + 3/5 * BF)/(DF + FA) (AD + 3/8 * DC)/(AD + DB) = (DF + 3/5 * (5/3) * DB)/(DF + DB) (AD + 3/8 * DC)/(AD + DB) = (DF + 1 * DB)/(DF + DB)

Спростимо ці вирази:

AD/(AD + 3/8 * DC) = DF/(DF + DC) ...(3) (AD + 3/8 * DC)/(AD + DB) = (DF + DB)/(DF + DB) ...(4)

Тепер об'єднаємо вирази (3) та (4):

AD/(AD + 3/8 * DC) = DF/(DF + DC) = (AD + 3/8 * DC)/(AD + DB) = (DF + DB)/(DF + DB)

Зауважимо, що вирази AD/(AD + 3/8 * DC) та (AD + 3/8 * DC)/(AD + DB) мають спільний член AD + 3/8 * DC. Аналогічно, вирази DF/(DF + DC) та (DF + DB)/(DF + DB) мають спільний член DF + DC.

Тому можемо записати:

AD + 3/8 * DC = DF + DC

Звідси маємо:

AD = DF

Це означає, що пряма DF ділить медіану BE навпіл. Тому відношення, в якому пряма DF ділить медіану BE, дорівнює 1:1.