Question

СРОЧНО!!! Почему если треугольник остроугольный, то центр его описанной окружности лежит внутри данного треугольника?

Answer 1

Ответ:

потому что точка пересечения срединных перпендикуляров лежит внутри остроугольного тр-ка

Answer 2

Для того чтобы ответить на этот вопрос, давайте разберемся с определениями и свойствами остроугольных треугольников и описанных окружностей.

1. Остроугольный треугольник: Это треугольник, у которого все углы острые, то есть их величины меньше 90 градусов.

2. Описанная окружность: Это окружность, которая проходит через все вершины треугольника.

Теперь давайте предположим, что у нас есть остроугольный треугольник ABC и его описанная окружность с центром O (см. рисунок).

cssCopy code
      C
     / \
    /   \
   /     \
  /       \
 /         \
A-----------B
      O

Так как O – центр описанной окружности, то радиус этой окружности равен расстоянию от центра до любой вершины треугольника: OA = OB = OC.

Теперь предположим, что O лежит вне треугольника ABC. Пусть, например, O лежит вне треугольника между сторонами AB и BC (см. рисунок).

cssCopy code
      C
     / \
    /   \
   /  O  \
  /       \
 /         \
A-----------B

Теперь давайте построим отрезки AO и BO. Поскольку радиус описанной окружности равен расстоянию от центра до вершины треугольника, то отрезки AO и BO должны иметь одинаковую длину, что делает их равными.

Однако, мы знаем, что сторона AB треугольника больше радиуса описанной окружности, так как точка O лежит вне треугольника. Это означает, что отрезок AO и BO должен быть меньше стороны AB. Но это противоречит тому, что отрезки AO и BO равны, так как сторона AB принадлежит обоим отрезкам.

Таким образом, мы приходим к противоречию, и предположение о том, что центр описанной окружности лежит вне треугольника, неверно.

Следовательно, центр описанной окружности остроугольного треугольника всегда лежит внутри данного треугольника.