Question

Если каждая из высот параллелограмма не меньше той стороны, которой она перпендикулярна, то угол между диагоналями параллелограмма равен скольки градусам?

Answer 1

Пусть стороны параллелограмма $a$ и $b$, а соответственные высоты $h_{1}$ и $h_{2}$.

Известно, что $h_{1}\geq a$ и $h_{2}\geq b$. Поэтому с одной стороны площадь параллелограмма $S\geq a^{2}$, с другой $S\leq h_{2}^{2}$. Поэтому $h_{2}\geq a$, но $a$ - гипотенуза. Поэтому $h_{2}=a$ и наш параллелограмм - прямоугольник. Тогда $h_{1}=b$. Получается $h_{2}=a\geq b$ и $h_{1}=b\geq a$, откуда $a=b$ и прямоугольник является еще и квадратом.

Угол между диагоналями 90

Answer 2

Для решения этой задачи давайте разберемся с основными свойствами параллелограмма и углами, образованными его диагоналями.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны. Параллелограмм также имеет две диагонали - это отрезки, соединяющие противоположные вершины.

Для того чтобы каждая из высот параллелограмма не была меньше соответствующей ей стороны, параллелограмм должен быть равнобедренным. В равнобедренном параллелограмме диагонали пересекаются в точке, деля ее на две равные части.

Теперь рассмотрим угол между диагоналями. Этот угол образуется двумя диагоналями и является углом пересечения. В равнобедренном параллелограмме угол между диагоналями является прямым (равен 90 градусам). Это происходит потому, что диагонали равнобедренного параллелограмма являются биссектрисами углов параллелограмма, и углы параллелограмма равны между собой.

Итак, ответ на ваш вопрос: угол между диагоналями параллелограмма равен 90 градусам, если каждая из высот параллелограмма не меньше той стороны, которой она перпендикулярна, и параллелограмм является равнобедренным.