Question

Доведіть, що чотирикутник MNKE, вершини якоготочки M(2; -2), N(-3; 4), К(-4; 7), E(1; 1), є паралелограмом​

Answer 1

по признаку параллелограмма четырехугольник является параллелограммом, если диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Найдем середины диагоналей МК и ЕN;

х₁=(2-4)/2=-1; у₁=(-2+7)/2=2.5

х₂=(-3+1)/2=-1; у₂=(4+1)/2=2.5

Т.к. середины диагоналей (-1;2.5) совпадают, требуемое доказано.

Answer 2

Для того, щоб довести, що чотирикутник MNKE є паралелограмом, потрібно перевірити, чи рівні протилежні сторони цього чотирикутника та чи рівні діагоналі.

Давайте позначимо координати точок M, N, K, E:

M(2, -2) N(-3, 4) K(-4, 7) E(1, 1)

1. Знайдемо координати векторів: a = MN = N - M = (-3 - 2, 4 - (-2)) = (-5, 6) b = KE = E - K = (1 - (-4), 1 - 7) = (5, -6)

2. Знайдемо координати діагоналі ME: c = ME = E - M = (1 - 2, 1 - (-2)) = (-1, 3)

3. Знайдемо координати діагоналі NK: d = NK = K - N = (-4 - (-3), 7 - 4) = (-1, 3)

Тепер маємо: a = (-5, 6) b = (5, -6) c = (-1, 3) d = (-1, 3)

4. Перевіримо, чи рівні діагоналі ME і NK: c = d

(-1, 3) = (-1, 3)

Так, діагоналі ME і NK мають рівні координати, тобто вони мають однаковий напрям. Це означає, що MNKE є паралелограмом.

5. Тепер перевіримо, чи рівні сторони MN і KE, а також сторони NK і ME:

|a| = √((-5)^2 + 6^2) = √(25 + 36) = √61 |b| = √(5^2 + (-6)^2) = √(25 + 36) = √61

|c| = √((-1)^2 + 3^2) = √(1 + 9) = √10 |d| = √((-1)^2 + 3^2) = √(1 + 9) = √10

Як бачимо, |a| = |b| і |c| = |d|.

Отже, всі сторони чотирикутника MNKE мають однакову довжину, а діагоналі ME і NK мають рівні координати. Таким чином, ми довели, що чотирикутник MNKE є паралелограмом.