Question

Хелп плиз!!! прямая пересекает строны AB и BC треугольника ABC в точках M и K соответственно. Вершины данного треугольника равноудалены от прямой MK. Докажите, что точки М и К являются серединами сторон AB и BC соответсвенно. ​

Answer 1

Объяснение:

Расстояние от точки до прямой это длинна перпедикуляра от точки до прямой

1)Проведем МК, пусть АА₁⊥МК, ВВ₁⊥МК, СС₁⊥МК.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔАА₁М и ΔВВ₁М :

      ∠А₁АМ=90- ∠А₁МА

      ∠В₁ВМ=90-∠В₁МВ,    но ∠А₁МА=∠В₁МВ как вертикальные ,

значит  ∠А₁АМ=∠В₁ВМ.

2)Прямоугольные треугольники ΔАА₁М=ΔВВ₁М по катету и острому углу :АА₁=ВВ₁ по условию, ∠А₁АМ=∠В₁ВМ по п 1. В равных треугольниках соответственные элементы равны , значит АМ=МВ.Поэтому М-середина.

3)Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔСС₁К и ΔВВ₁К :

      ∠В₁ВК=90-∠В₁КВ

      ∠С₁СК=90-∠С₁КС,       но ∠С₁КС=∠В₁КВ как вертикальные ,

значит  ∠В₁ВК=∠С₁СК.

4)Прямоугольные треугольники ΔСС₁К=ΔВВ₁МК по катету и острому углу :СС₁=ВВ₁ по условию,  ∠В₁ВК=∠С₁СК  по п 3 , В равных треугольниках соответственные элементы равны , значит ВК=КС . Поэтому К-середина.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения нам потребуется использовать свойство равноудаленных точек от прямой.

Дано:

1. Прямая MK пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках M и K соответственно.
2. Вершины треугольника ABC равноудалены от прямой MK.

Для начала, обратим внимание на то, что точки M и K лежат на прямой MK. Таким образом, отрезок MK соединяет точки M и K.

Теперь, чтобы доказать, что точка M является серединой стороны AB, и точка K является серединой стороны BC, рассмотрим следующее:

1. Сегменты AM и MB: Для начала заметим, что точка M лежит на стороне AB треугольника ABC. Рассмотрим два треугольника: треугольник AMK и треугольник BMK. Оба треугольника имеют общую сторону MK. Кроме того, по условию, вершины треугольника ABC равноудалены от прямой MK, что означает, что расстояния от точек A и B до прямой MK равны. Таким образом, сегменты AM и MB равны, так как они соответствуют одним и тем же углам и равным сторонам в двух подобных треугольниках. Следовательно, точка M является серединой стороны AB.

2. Сегменты BK и KC: Точно так же, как в предыдущем пункте, мы можем рассмотреть два треугольника: треугольник BMK и треугольник CKM. Оба треугольника имеют общую сторону MK. Так как вершины треугольника ABC равноудалены от прямой MK, расстояния от точек B и C до прямой MK также равны. Это делает сегменты BK и KC равными, так как они соответствуют одним и тем же углам и равным сторонам в двух подобных треугольниках. Таким образом, точка K является серединой стороны BC.

Таким образом, мы доказали, что точки М и К являются серединами сторон AB и BC соответственно.