Question

.Визначити висоту циліндра найбільшого об'єму, який можна вписати у кулю радіуса 5корінь з 3

Answer 1

Визначити висоту циліндра найбільшого об'єму, який можна вписати у кулю радіуса 5корінь з 3

Answer 2

Щоб знайти висоту циліндра найбільшого об'єму, який можна вписати у кулю радіуса $r$, ми можемо використати метод Лагранжевих множників.

Позначимо радіус кулі як $r$ і висоту циліндра як $h$. Знаючи, що об'єм циліндра визначається формулою $V = \pi r^2 h$, а об'єм кулі - формулою $V_{\text{кулі}} = \frac{4}{3}\pi r^3$, ми можемо записати функцію обмежень та функцію об'єктиву, яку ми будемо максимізувати:

Функція об'єктиву: $V_{\text{циліндра}} = \pi r^2 h$

Функція обмеження: $V_{\text{кулі}} = \frac{4}{3}\pi r^3$

Обмеження: $r = 5\sqrt{3}$

Метод Лагранжевих множників допоможе знайти максимум функції об'єктиву при заданому обмеженні:

$\mathcal{L}(r, h, \lambda) = \pi r^2 h + \lambda \left(\frac{4}{3}\pi r^3 - V_{\text{кулі}}\right)$

Де $\lambda$ - це множник Лагранжа.

Тепер знайдемо часткові похідні $\mathcal{L}$ по $r$, $h$ та $\lambda$ та прирівняємо їх до нуля:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r} = 2\pi rh + \frac{4}{3}\pi \lambda r^2 = 0$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h} = \pi r^2 = 0$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = \frac{4}{3}\pi r^3 - V_{\text{кулі}} = 0$

Перший рівняння допоможе нам знайти зв'язок між $r$, $h$ та $\lambda$, другий - знайти значення $h$, а третій - знайти $\lambda$.

З другого рівняння отримуємо: $\pi r^2 = 0 \Rightarrow r = 0 \text{ або } r \neq 0$

Оскільки радіус не може бути нульовим, то $r \neq 0$.

З першого рівняння виразимо $h$: $h = -\frac{2}{3}\lambda r$

Підставимо вираз для $h$ у третє рівняння: $\frac{4}{3}\pi r^3 - V_{\text{кулі}} = 0$ $\frac{4}{3}\pi r^3 - \frac{4}{3}\pi (5\sqrt{3})^3 = 0$ $\frac{4}{3}\pi r^3 - \frac{4}{3}\pi (3 \cdot 5^3) = 0$ $\frac{4}{3}\pi r^3 - \frac{4}{3}\pi (3 \cdot 125) = 0$ $\frac{4}{3}\pi r^3 - \frac{4}{3}\pi 375 = 0$ $\frac{4}{3}\pi r^3 - 500\pi = 0$ $\pi r^3 = 500\pi$ $r^3 = 500$ $r = \sqrt[3]{500}$

Таким чином, ми знайшли радіус циліндра, який максимізує об'єм і можна вписати у задану кулю. Тепер, щоб знайти висоту, підставимо значення $r$ у вираз для $h$:

$h = -\frac{2}{3}\lambda r$ $h = -\frac{2}{3} \cdot \frac{500}{\sqrt[3]{500}}$ $h=-\frac{2}{3}\cdot \frac{\text{exception 25:}}{}$ 0 0