Question

З точки A до кола проведено дотичні AM і AN (M і N - точки дотику). Знайдіть AK, якщо ∠MAN = 60°, OM = 8 см.

Answer 1

Ответ:

У відповіді вийде 12!

Answer 2

Давайте позначимо центр кола як O, точку дотику M як точку M, точку дотику N як точку N і точку дотику K як точку K. Також, позначимо довжину дотичної AM як x см.

Так як OM є радіусом кола, а AM є дотичною, то вони перпендикулярні один одному. Отже, трикутник OMA є прямокутним трикутником.

Також, з трикутника OMA маємо: OA² = OM² + AM² OA² = 8² + x² OA² = 64 + x² OA = √(64 + x²)

Аналогічно, з трикутника ONA маємо: OA² = ON² + AN² OA² = ON² + x² OA = √(ON² + x²)

Оскільки OA одне і те ж число в обох випадках, то маємо: √(64 + x²) = √(ON² + x²)

Тепер давайте розглянемо трикутник MAN. Знаємо, що ∠MAN = 60°. Так як дотичні до кола завжди перпендикулярні до радіуса, то ∠OAM = ∠OAN = 90°. Отже, ∠MAO = ∠NAO = 60°.

Таким чином, ми отримали рівнобедрений трикутник OMA з ∠MOA = ∠MAO = 60°. Знаємо, що в рівнобедреному трикутнику бісектриса кута ділить протилежну сторону на дві рівні частини.

Таким чином, AK = KM = x/2.

Отже, відповідь: AK = x/2 см.