Question

Запишіть рівняння кола, вписаного у трикутник ABC, якщо A (-6; 0), B (0; 8), C (0; 0)

Answer 1

Катеты АС и ВС определяются из анализа координат : АС = 6, ВС = 8.

Гипотенуза АВ по Пифагору равна 10.

Величина радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник:

r = (a+b-c)/2 = (6+8-10)/2 = 4/2 = 2 ед.

Координаты центра находим как среднее арифметическое координат точек (это точка пересечения медиан).

хо = (-6+0+0)/3 = -2,

уо = (0+8+0)/3 = 8/3.

Получаем уравнение окружности:

(x + 2)² + (y - (8/3))² = 2².

Answer 2

Щоб знайти рівняння кола, вписаного у трикутник ABC, спочатку знайдемо координати точки центру кола і його радіус.

Крок 1: Знайдемо середини сторін трикутника ABC, щоб знайти координати центру кола.

Середина сторони AB: (A + B) / 2 = ((-6 + 0) / 2, (0 + 8) / 2) = (-3, 4).

Середина сторони AC: (A + C) / 2 = ((-6 + 0) / 2, (0 + 0) / 2) = (-3, 0).

Середина сторони BC: (B + C) / 2 = ((0 + 0) / 2, (8 + 0) / 2) = (0, 4).

Крок 2: Знайдемо довжини сторін трикутника AB, BC і AC.

AB: довжина AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) = √((0 - (-6))^2 + (8 - 0)^2) = √(6^2 + 8^2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

AC: довжина AC = √((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2) = √((0 - (-6))^2 + (0 - 0)^2) = √(6^2 + 0^2) = √36 = 6.

BC: довжина BC = √((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2) = √((0 - 0)^2 + (0 - 8)^2) = √(0 + 64) = √64 = 8.

Крок 3: Знайдемо півпериметр трикутника ABC.

p = (AB + BC + AC) / 2 = (10 + 8 + 6) / 2 = 12.

Крок 4: Знайдемо площу трикутника ABC за допомогою формули Герона.

S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)) = √(12 * (12 - 10) * (12 - 8) * (12 - 6)) = √(12 * 2 * 4 * 6) = √(576) = 24.

Крок 5: Знайдемо радіус кола вписаного в трикутник ABC за допомогою формули радіусу кола вписаного в трикутник.

r = S / p = 24 / 12 = 2.

Крок 6: Запишемо рівняння кола.

Рівняння кола має вигляд (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, де (h, k) - координати центру кола, r - радіус кола.

Таким чином, рівняння кола, вписаного у трикутник ABC, має вигляд:

(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 = 2^2.

Спрощуючи:

(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 4.