Question

Написать разложение вектора А {3;1;8} по векторам Р{0;1;3} Q{1;2;-1} R{2;0;-1} 80 баллов за подробное решение

Answer 1

Объяснение:

Написать разложение вектора а{3;1;8} по векторам

р{0;1;3} , q{1;2;-1},  r{2;0;-1}.

а=А р+В q+Сr,   где А,В,С-коэффициенты,  р,q, r вектора.

Х :  3=А*0+В*1+С*2,     3=В+2С или  В=3-2С ;

У  : 1=А*1+В*2+0*С,      1=А+2В    или  1=А+6-4С    или  А=4С-5;

Z   :8=3А-1В-1С  ,           8=3(4С-5)-1(3-2С)-1С  или  С=2.

В=3-2С  ⇒     В=3-4=-1;

А=4С-5  ⇒     А=8-5=3.  

а=3 р-q+2 r

Answer 2

Для разложения вектора A {3; 1; 8} по векторам P {0; 1; 3}, Q {1; 2; -1} и R {2; 0; -1} нам понадобится найти коэффициенты, с которыми эти векторы будут составлять разложение вектора A. Обозначим эти коэффициенты как x, y и z соответственно.

То есть, вектор A можно представить в виде суммы:

A = x * P + y * Q + z * R

Подставляя координаты векторов P, Q и R, получим систему линейных уравнений:

3 = 0 * x + 1 * y + 2 * z 1 = 1 * x + 2 * y + 0 * z 8 = 3 * x - 1 * y - 1 * z

Решим эту систему уравнений, чтобы найти значения x, y и z.

Первое уравнение: 0x + y + 2z = 3 Второе уравнение: x + 2y + 0z = 1 Третье уравнение: 3x - y - z = 8

Мы можем решить второе уравнение относительно x: x = 1 - 2y

Подставляем это значение x в первое и третье уравнения:

1. 0(1 - 2y) + y + 2z = 3
2. 3(1 - 2y) - y - z = 8

Раскроем скобки:

1. y + 2z = 3
2. 3 - 6y - y - z = 8

Упростим второе уравнение:

-7y - z = 5

Теперь можно выразить z через y из первого уравнения:

z = 3 - y

Подставляем это значение z обратно в упрощенное второе уравнение:

-7y - (3 - y) = 5

Решим уравнение:

-8y = 8 y = -1

Теперь, зная значение y, можем найти x:

x = 1 - 2 * (-1) = 3

И, наконец, подставляем найденные значения x и y в первое уравнение:

y + 2z = 3 -1 + 2z = 3 2z = 4 z = 2

Итак, мы нашли значения коэффициентов x, y и z:

x = 3 y = -1 z = 2

Теперь можем выразить вектор A как линейную комбинацию векторов P, Q и R:

A = 3 * P - 1 * Q + 2 * R

Подставляя значения векторов P, Q и R, получим:

A = 3 * {0; 1; 3} - 1 * {1; 2; -1} + 2 * {2; 0; -1} A = {0; 3; 9} - {1; 2; -1} + {4; 0; -2} A = {0 - 1 + 4; 3 - 2 + 0; 9 + 1 - 2} A = {3; 1; 8}

Таким образом, разложение вектора A по векторам P, Q и R имеет вид:

A = 3 * P - 1 * Q + 2 * R

или

A = 3 * {0; 1; 3} - 1 * {1; 2; -1} + 2 * {2; 0; -1}

или

A = {3; 1; 8}