Question

Площадь боковой поверхности цилиндра 48 π. Найти его объем, если образующая на 2 см длиннее радиуса.

Answer 1

Ответ:

V=96*pi (см.куб.)

Объяснение:

Дано:

S_бок.пов.=48*pi (см.кв.)

l=r+2, где l- образующая цилиндра, r -его радиус.

V-?  

Решение:

В цилиндре все образующие параллельны его оси и равны его высоте, т.е.  

  l=h.                  (1)

По определению  

  S_бок.пов.=2*pi*r*h, (2)

  V=pi*(r^2)*h.                (3)

С учетом (1) для (3) имеем

   V=pi*(r^2)*l.                (3а)

Подставим в (2),  с учетом (1), данные из условия задачи и упростим полученное выражение:

S_бок.пов.=2*pi*r*l--->48*pi=2*pi*r*l--->24=r*l.  

Отсюда l=24/r. С другой стороны, по условию l=r+2. Поэтому можно записать:

r+2=24/r.

Данное выражение можно переписать в форме:

   r^2+2*r-24=0.          (4)

Решая уравнение (4), находим его корни r_1=4 и r_2=-6. Так как, радиус - положительно определённая величина, то r_2 не может являться радиусом цилиндра. Следовательно, r=4 см.  Далее, получаем l=r+2=4+2=6см.

Таким образом, подставляя числовые значения r и l в формулу (3a), получаем

V=pi*(4^2)*6=pi*16*6=96*pi (см.куб.)

Answer 2

Обозначим радиус цилиндра как "r" и его образующую как "l". По условию задачи, дано:

Площадь боковой поверхности цилиндра (S) = 48π Длина образующей (l) = 2r

Формула для площади боковой поверхности цилиндра:

S = 2πrh

Где: S - площадь боковой поверхности π - число π (пи) r - радиус цилиндра h - высота цилиндра

Подставим известные значения:

48π = 2πrh

Так как l (длина образующей) равна 2r, то h (высота цилиндра) также равна 2r:

48π = 2πr(2r)

Решим уравнение для нахождения значения радиуса (r):

48π = 4πr^2

Делим обе стороны на 4π:

12 = r^2

Извлекаем квадратный корень:

r = √12 = 2√3

Теперь, когда мы нашли радиус цилиндра, можем найти его объем (V). Формула для объема цилиндра:

V = πr^2h

Подставим известные значения:

V = π(2√3)^2(2√3)

Упростим:

V = π(12)(2√3)

V = 24π√3

Итак, объем цилиндра составляет 24π√3 кубических единиц.