Question

Отрезки KB и AM пересекаются в точке S, так что АВ = КМ и АВǁКМ. Докажите, что S является серединой отрезков КВ и АМ. Даю 50 баллов

Answer 1

Дано:

KB ∩ AM = S.

AB = KM

AB || KM

Доказать:

S - середина KB и AM.

Решение.

ЕСЛИ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ 2 ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ УГЛЫ РАВНЫ, ТО ПРЯМЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ.

Рассмотрим △KSM и △BSA:

AB = KM

Т.к. AB || KM => ∠B = ∠K т.к. они накрест лежащие.В данном случае, действует теорема, которая написана заглавными буквами вверху, только обратная:

ЕСЛИ ДВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ПЕРЕСЕЧЕНЫ СЕКУЩЕЙ, ТО НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ УГЛЫ РАВНЫ

∠A = ∠M, т.к. они накрест лежащие.

=> △KSM = △ASB, по 2 признаку равенства треугольников.

Т.к. △KSM = △ASB => S - середина KB и AM

Ч.Т.Д.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения нам понадобится использовать параллельные линии и равенство отрезков.

Дано: Отрезки АВ и КМ пересекаются в точке S, причем АВ = КМ и АВ параллельно КМ.

Нам нужно доказать, что точка S является серединой отрезков КВ и АМ.

Доказательство: Рассмотрим треугольник АВК и треугольник АМК:

1. Поскольку АВ параллельно КМ, угол АКМ и угол АВК - соответственные углы и, следовательно, равны друг другу (по теореме о параллельных линиях и пересекающихся линиях).

2. Так как АВ = КМ (дано), то треугольник АВК равен треугольнику АМК по стороне-стороне-стороне (по стороне АК, стороне ВК и равенству АВ = КМ).

3. Из равенства треугольников следует, что угол АКМ равен углу АМК.

4. Так как угол АКМ равен углу АМК и они оба являются углами при основании в треугольниках АКМ и АМК, то эти треугольники равнобедренные.

5. Из равнобедренности треугольников АКМ и АМК следует, что АС = СК и МС = СК.

6. Теперь рассмотрим треугольник СМВ: так как АС = СК и МС = СК, то СМ - это средняя линия треугольника АКМ, и, следовательно, точка S является серединой отрезка АК.

7. Аналогично рассмотрим треугольник СКВ: так как АС = СК и МС = СК, то СК - это средняя линия треугольника АМК, и, следовательно, точка S является серединой отрезка МК.

8. Таким образом, точка S является серединой и отрезка КВ, и отрезка АМ.

Таким образом, мы доказали, что если АВ = КМ и АВ параллельно КМ, то точка S является серединой отрезков КВ и АМ.