Question

40 БАЛОВ!!! Дві площини перетинаються під кутом 60º. Точка А, яка лежить в одній з цих площин, віддалена від другої площини на відстань 4 см. Знайти відстань від точки А до лінії перетину площин.

Answer 1

Відстань від точки A до другої площини — це довжина перпендикуляра AA', опущеного з точки A на іншу площину. Відстань від т. A до лінії перетину площин — це величина перпендикуляра AH, опущеного з т. A на пряму перетину.

З'єднавши точки A' та H, отримаємо прямокутний трикутник AA'H (тому що AA' перпендикулярний до будь-якої прямої іншої площини). За теоремою про 3 перпендикуляри A'H буде перпендикулярний і прямій перетину, а, отже, є проекцією AH на другу площину, і в такому випадку кут AHA' і буде кутом між двома площинами.

З прямокутного ΔAHA' знайдемо АН:

$sin\alpha = \frac{AA'}{AH} \:\: \Rightarrow \:\: AH = \frac{AA'}{sin\alpha } \\AH = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3} }{2} } = \frac{4\sqrt{3}\cdot 2}{\sqrt{3}} = 8 \:\: (cm)$

Відповідь: Відстань від точки А до лінії перетину площин рівна 8 см.

Answer 2

Щоб знайти відстань від точки А до лінії перетину площин, ми можемо скористатися геометричними властивостями трикутника.

Давайте позначимо точку перетину площин лінією С, а відстань від точки А до лінії С - х. Також позначимо відстань від точки А до другої площини - у.

Оскільки дві площини перетинаються під кутом 60º, тоді кут між площиною, на якій знаходиться точка А, і лінією перетину площин, дорівнює 90º - 60º = 30º.

Таким чином, утворений трикутник є прямокутним трикутником і ми можемо використати тригонометрію для знаходження значень сторін.

Застосуємо теорему синусів для трикутника з кутом 30º: sin(30º) = у / 4 (1)

Застосуємо теорему Піфагора до прямокутного трикутника з кутом 30º: х^2 + у^2 = (4 + у)^2 (2)

Розкриємо квадрат з правої частини рівняння (2): х^2 + у^2 = 16 + 8у + у^2 (3)

Виразимо х^2 з рівняння (3): х^2 = 16 + 8у (4)

Підставимо значення х^2 з рівняння (4) в рівняння (1): sin(30º) = √(16 + 8у) / 4 √(16 + 8у) = 4 * sin(30º) 16 + 8у = 16 * sin^2(30º) 8у = 16 * (1/4) 8у = 4 у = 0.5

Тепер підставимо значення у в рівняння (4): х^2 = 16 + 8 * 0.5 х^2 = 16 + 4 х^2 = 20 х = √20 х ≈ 4.47

Отже, відстань від точки А до лінії перетину площин становить близько 4.47 см.