Question

Девочка Маша нарисовала правильный треугольник, вписала в него окружность, а в окружность вписала ещё один правильный треугольник.После этого Маша нашла отношение площадей треугольников.А её подруга Лена нарисовала правильный четырёхугольник, в которыйтоже вписала окружность, а в окружность вписала ещё один правильныйчетырёхугольник. Безусловно, Лена тоже не удержалась от соблазна найтиотношение площадей четырёхугольников.Какое число получилось у Маши, а какое у Лены, если известно, что обедевочки получили значения больше единицы?​

Answer 1

Ответ:

1.5

Объяснение:

Answer 2

Пусть сторона внешнего треугольника, в который вписана окружность, равна единице. Тогда радиус окружности, вписанной в этот треугольник, будет равен половине его стороны, то есть 0.5. Также радиус внутренней окружности, вписанной во внутренний треугольник, будет равен половине стороны внутреннего треугольника, то есть 0.25.

Для треугольника площадью S, вписанного в окружность радиусом r, справедливо, что S = (3√3 / 4) * r^2. Таким образом, площадь внешнего треугольника, в который вписана окружность, будет S1 = (3√3 / 4) * 1^2 = (3√3 / 4).

Аналогично, площадь внутреннего треугольника будет S2 = (3√3 / 4) * 0.5^2 = (3√3 / 16).

Таким образом, отношение площадей треугольников будет S1 / S2 = [(3√3 / 4) / (3√3 / 16)] = 16 / 4 = 4.

Для четырехугольника, вписанного в окружность радиусом r, площадь S равна S = 2 * r^2. Площадь внешнего четырехугольника, в который вписана окружность радиусом 0.5, будет S3 = 2 * 0.5^2 = 0.5.

Площадь внутреннего четырехугольника, вписанного во внутренний четырехугольник, будет S4 = 2 * 0.25^2 = 0.125.

Отношение площадей четырехугольников будет S3 / S4 = 0.5 / 0.125 = 4.

Таким образом, у Маши и у Лены получилось одинаковое отношение площадей треугольников и четырехугольников, и оно равно 4.