Question

Обчисліть довжину діагоналі AC паралелограма ABCD, якщо A(2;-6;2), B(-4;8;2), D(0;-12;0).

Answer 1

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам .

То есть можно найти координаты середины диагонали BD - точки О, а затем длину отрезка АО, являющегося половиной диагонали АС.

Удвоив длину отрезка АО, найдём длину диагонали АС.

$A(2,-6,2)\; ,\; B(-4,8,2)\; ,\; D(0,-12,0)\\\\x_{O}=\frac{x_{B}+x_{D}}{2}=\frac{-4+0}{2}=-2\; ,\; \; y_{O}=\dfrac{y_{B}+y_{D}}{2}=\dfrac{8-12}{2}=-2\; ,\\\\\\z_{O}=\dfrac{z_{B}+z_{D}}{2}=\frac{2+0}{2}=1\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \underline {\; O(-2,-2,1)\; }\\\\\\AO=\sqrt{(x_{O}-x_{A})^2+(y_{O}-y_{A})^2+(z_{O}-z_{A})^2}\\\\AO=\sqrt{(-2-2)^2+(-2+6)^2+(1-2)^2}=\sqrt{33}\\\\AC=2\sqrt{33}$

Answer 2

Решение смотрите во вложении

Answer 3

Для обчислення довжини діагоналі AC паралелограма ABCD використовуємо формулу відстані між двома точками у тривимірному просторі:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2},$

де $A(x_1, y_1, z_1)$ і $C(x_2, y_2, z_2)$ - координати точок A і C відповідно.

За заданими координатами:

A(2, -6, 2) і C(x, y, z).

Довжина діагоналі AC:

$d_{AC} = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 6)^2 + (z - 2)^2}.$

Знаючи, що діагональ паралелограма ділить його на дві рівні трикутники, можна визначити координати точки C, яка має таку саму відстань від точки B, як точка A:

B(-4, 8, 2) і C(x, y, z).

$d_{BC} = \sqrt{(x + 4)^2 + (y - 8)^2 + (z - 2)^2}.$

Оскільки діагоналі паралелограма мають однакову довжину, ми можемо прирівняти вирази для довжин діагоналей AC і BC:

$\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 6)^2 + (z - 2)^2} = \sqrt{(x + 4)^2 + (y - 8)^2 + (z - 2)^2}.$

Спростимо рівняння, віднімемо $(z - 2)^2$ з обох боків:

$(x - 2)^2 + (y + 6)^2 = (x + 4)^2 + (y - 8)^2.$

Розкриємо квадрати:

$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 12y + 36 = x^2 + 8x + 16 + y^2 - 16y + 64.$

Відкинемо $x^2$ та $y^2$ з обох боків:

$-4x + 4 + 12y + 36 = 8x + 16 - 16y + 64.$

Згрупуємо подібні терміни:

$-4x - 8x + 12y + 16y = 64 - 4 - 36 - 16.$

Спростимо:

$-12x + 28y = 8.$

Тепер можна виразити $x$ залежно від $y$:

$-12x = 8 - 28y \Rightarrow x = \frac{28y - 8}{12} = \frac{7y - 2}{3}.$

Тепер, знаючи вираз для $x$, можемо виразити координати точки C:

$C\left(\frac{7y - 2}{3}, y, z\right).$

Підставимо ці координати в одне з виразів для довжини діагоналі:

$d_{AC} = \sqrt{\left(\frac{7y - 2}{3} - 2\right)^2 + (y + 6)^2 + (z - 2)^2}.$